Cuenta el número de soluciones de lo siguiente:
$$x_1+x_2+\cdots+x_5=45$$
cuando: $1$ . $x_1+x_2>0$ , $x_2+x_3>0$ , $x_3+x_4>0$
$2$ . $x_1+x_2>0$ , $x_2+x_3>0$ , $x_4+x_5>1$
( $x_1,\ldots,x_5$ son enteros no negativos)
Gracias.
Respuestas
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1) Dividir cinco casos
$\bullet \quad x_1=0, x_2\ge 1, x_3=0, x_4\ge 1, x_5\ge 0$
entonces $\quad 0+x_2+0+x_4+(x_5+1)=46\quad $ número de soluciones como $\displaystyle {45\choose 2}=990$
$\bullet \quad x_1=0, x_2\ge 1, x_3\ge 1, x_4\ge 0, x_5\ge 0$
entonces $\quad 0+x_2+x_3+(x_4+1)+(x_5+1)=47\quad $ número de soluciones como $\displaystyle {46\choose 3}=15180$
$\bullet \quad x_1\ge 1, x_2=0, x_3\ge 1, x_4\ge 0, x_5\ge 0$
entonces $\quad x_1+0+x_3+(x_4+1)+(x_5+1)=47\quad $ número de soluciones como $\displaystyle {46\choose 3}=15180$
$\bullet \quad x_1\ge 1, x_2\ge 1, x_3= 0, x_4\ge 1, x_5\ge 0$
entonces $\quad x_1+x_2+0+x_4+(x_5+1)=46\quad $ número de soluciones como $\displaystyle {45\choose 3}=14190$
$\bullet \quad x_1\ge 1, x_2\ge 1, x_3\ge 1, x_4\ge 0, x_5\ge 0$
entonces $\quad x_1+x_2+x_3+(x_4+1)+(x_5+1)=47\quad $ número de soluciones como $\displaystyle {46\choose 4}=163185$
Resultado: $990+15180+15180+14190+163185=\boxed{208725}$
2) Similares
gar
Puntos
3883
Utilizando el principio de inclusión-exclusión, podemos derivar la función generadora necesaria y extraer el coeficiente para la fórmula.
1)
Dejemos que $\mathbb{N}$ indican el número de soluciones con la única condición de que cualquier $x_i\ge 0$ .
Sean las restricciones dadas:
$A: x_1+x_2>0\\ B: x_2+x_3>0\\ C: x_3+x_4>0 $
Requerimos el número de soluciones con todas las restricciones anteriores, indicadas por $N\left({A\cap B\cap C}\right)$
que también puede escribirse como \begin{align} N\left({A\cap B\cap C}\right)&=\mathbb{N}-N\left(\overline{A\cap B\cap C}\right) \tag 1\\ &=\mathbb{N}-N\left(\overline A\cup \overline B\cup \overline C\right) \end{align}
Las sobrelíneas son sólo complementos de las restricciones, por ejemplo $\overline A : x_1+x_2=0$ etc.
También, por PIE
$$ N\left(\overline A\cup \overline B\cup \overline C\right)=N(\overline A)+N(\overline B)+N(\overline C)-N(\overline A \cap \overline B) -N(\overline A \cap \overline C)-N(\overline B \cap \overline C)+N(\overline A\cap \overline B\cap \overline C) \tag 2 $$
En las fórmulas anteriores, la condición para otros $x_i\ge 0$ se mantiene bien simultáneamente.
Entonces podemos escribir fácilmente la f.g. para $(2)$
\begin{align} g(x)&=\frac{1}{(1-x)^3}+\frac{1}{(1-x)^3}+\frac{1}{(1-x)^3}-\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{(1-x)}-\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{1}{(1-x)}\\ &=\frac{3}{(1-x)^3}-\frac{2}{(1-x)^2} \end{align}
Por lo tanto, la f.g. para $(1)$ es:
\begin{align} G_1(x)&=\frac{1}{(1-x)^5}-\frac{3}{(1-x)^3}+\frac{2}{(1-x)^2} \end{align}
Por lo tanto, la fórmula general para el número de soluciones es:
\begin{align} a_n&=\binom{n+4}{4}-3\,\binom{n+2}{2}+2\, \binom{n+1}{1}\\ \therefore a_{45}&=\boxed{208725} \end{align}
2)
Esto también se puede hacer de forma similar, pero hay que tener más cuidado con las restricciones.
Terminaremos con la siguiente función generadora:
\begin{align} G_2(x)&=\frac{1}{(1-x)^5}-\frac{3+2\, x}{(1-x)^3}+\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{2\, (1+2\, x)}{(1-x)}-(1+2\, x) \end{align}
y
\begin{align} b_n&=\binom{n+4}{4}-3\, \binom{n+2}{2}-2\, \binom{n+1}{2}+\binom{n+1}{1}+6\\ \therefore b_{45}&=\boxed{206615} \end{align}
vonbrand
Puntos
15673
No es muy elegante, pero la simetría reduce mucho la comprobación.
En (1), las restricciones son que $x_1$ o $x_2$ son distintos de cero, y así sucesivamente. Como no hay más restricciones, esto se divide en $x_1 \ne 0$ y $x_2 = 0$ o viceversa (esencialmente una variable menos) o $x_1 \ne 0$ y $x_2 \ne 0$ . Lo mismo para los demás.
