Los límites y los exponentes y e exponente formulario

Question

Así que sé que $\underset{n\rightarrow \infty}{\text{lim}}\left(1+\frac {1}{n}\right)^n=e$ y que no estamos autorizados a ver como $1^\infty$ porque eso sería incorrecto. ¿Por qué es entonces que podemos hacer lo mismo con (por ejemplo): $$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\sin\left(\frac {1}{n}\right)\right)^{n\cos\left(\frac {1}{n}\right)}= \lim_{n\rightarrow \infty} \left(\left(1+\sin\left(\frac {1}{n}\right)\right)^\frac {1}{\sin\left(\frac {1}{n}\right)} \right)^{n\cdot\cos\left(\frac {1}{n}\right)\sin\left(\frac{1}{n}\right)}$$

A lo que me refiero es que en el ejemplo de $e$ no podemos decir' $\lim \left(1+\frac {1}{n}\right)^{\lim (n)}=1^\infty$

Mientras que en el segundo ejemplo, que es exactamente lo que hacemos, decimos que el límite de la base es$e$, mientras que el límite de que el exponente es 1, que es la razón por la que toda la expresión es igual a $e$.

¿Alguien puede explicarme la diferencia entre los dos?

Answer 1

Esto puede dar una idea acerca de cómo se puede generalizar el límite de

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e. $$

Supongamos $a_n \to 0$$b_n \to \infty$. Entonces

$$ \lim_{n\to\infty} (1+a_n)^{b_n} = \lim_{n\to\infty} \exp\Bigl[b_n \log(1+a_n)\Bigr] = C $$

si y sólo si

$$ \lim_{n\to\infty} b_n \log(1+a_n) = \log C. $$

Ahora

$$ b_n \log(1+a_n) = a_n b_n \frac{\log(1+a_n)}{a_n}, $$

y ya

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1 $$

Se puede concluir que la

$$ \lim_{n \to \infty} (1+a_n)^{b_n} = C $$

si y sólo si

$$ \lim_{n \to \infty} a_n b_n = \log C. $$

Answer 2

La expresión $1^\infty$ es un indeterminado expresión, es decir, uno de esos tipos que usted debe obtener la alarma acerca de cuando aparecen como límite de la expresión si uno ingenuamente reemplaza$\lim_{n\to\infty} (a_n\circ b_n)$$(\lim_{n\to\infty}a_n)\circ (\lim_{n\to\infty}b_n)$. Hacerlo sólo está justificada cuando la operación binaria $\circ$ es tanto definido y continuo. Usted puede saber que $\frac00$, $\frac\infty\infty$, $0\cdot\infty$ y $\infty-\infty$ son de crecimiento indeterminado, pero también lo es $1^\infty$ también $0^0$. Tenga en cuenta que la noción de indeterminado expresión se distinguen de las indefinido expresión (aunque cosas como $\frac00$ pasan a ser también indefinido). Aquí sin embargo, tenemos que lidiar con el hecho de que $(x,y)\mapsto x^y$ no es continua en a $(x,y)=(1,\infty)$ (y también no $(x,y)=(0,0)$). Por lo tanto, si $a_n\to 1$$b_n\to \infty$, prácticamente cualquier cosa puede pasar con $a_n^{b_n}$.

Esto es así a pesar del hecho de que lo hace perfecto sentido algebraicamente decir que $1^\infty=1$ (y también a $0^0=1$) si se tiene en $a^b$ a medida que el número de mapas a partir de una $b$-elemento del conjunto a un $a$-elemento del conjunto. Sin embargo, la única manera agradable para definir la exponenciación analíticamente es a través de logaritmo y exponentaila, es decir,$x^y:=\exp(y\ln x)$. En esta luz, la indeterminación de $1^\infty$ $0^0$ corresponde a los "conocidos" indeterminación de $\infty\cdot 0$ o $0\cdot\infty$.

Answer 3

$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to a}f(x)^{\lim_{x\to a}g(x)}\iff $ $\lim_{x\to a}f(x), \lim_{x\to a}g(x)$ existe.

Mientras que en el primer caso $\lim_{n\to \infty}n$ no existe, pero en el segundo caso, $\lim_{n\to\infty}\left(1+\sin\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{\sin\frac{1}{n}}}=e$ $\lim_{n\to \infty}n\cos\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n}=1$ ambos existen.