Las tarjetas deben ser surjective en la definición de un profinite grupo?

Question

Deje $G_i, f_{ij}$ inverso sistema topológico de los grupos donde cada uno de los $G_i$ es finito en la topología discreta. Un profinite grupo se define como un límite inversa de una inversa del sistema. Sin embargo, mi profesor parecía suponer que el $f_{ij}$ necesario para ser surjective (para un proyectiva del sistema). Es necesario tener esta suposición? ¿Hay ventajas de asumir surjectivity?

En cualquier caso, uno tiene que si $G = \lim\limits_{\leftarrow}G_i$, $G$ es isomorfo a la inversa límite de todos los cocientes $G/N$ donde $N$ se ejecuta a través de la normal subgrupos de $G$. Por lo tanto, cualquier profinite grupo será el límite inversa de un sistema donde los mapas son surjective, así que creo que podemos asumir que este posee propiedad, sin pérdida de generalidad.

Answer 1

No es necesario que los mapas surjective en la definición. Sin embargo, cualquier profinite grupo es isomorfo a un límite de un proyectiva sistema en el que los mapas son surjective. En efecto, supongamos $(G_i, f_{ij})$ es un proyectiva del sistema. Definir $G_i' = \cap_j f_{ij} (G_j)$, donde la intersección se toma sobre todos los $j \to i$. La observación de que si $G_j \to G_{k} \to G_i$,$f_{ij}(G_j) = f_{ik}(f_{kj}(G_j)) \subseteq f_{ik}(G_{k})$, por lo que el $f_{ij}(G_j)$ más pequeño de lo $j$ se mueve el sistema. Voy a dejar de probar que $(G_i', f'_{ij})$ formas un proyectiva del sistema, donde $f'_{ij}$ son las restricciones de la $f_{ij}$'s, y que el $f'_{ij}$'s son surjective. Voy a dejar que demostrar también que la inclusión $(G'_i, f_{ij}') \to (G_i, f_{ij})$ induce un isomorfismo en los límites.

Answer 2

Una explicación detallada de Bruno Joyal la respuesta:

I. Para $k \geq i$, la imagen de la restricción $f_{ik}' = f_{ik} \mid G_k'$ está contenido en $G_i'$.

Vamos $$g \in G_k' = \bigcap\limits_{j \geq k} f_{kj}(G_j)$$ In order to show $f_{ik}(g) \en G_i'$, we must show that for any $j \geq i$, there exists an $h \en G_j$ such that $f_{ij}(h) = f_{ik}(g)$. Since we are in a direct system, we may choose an index $s$ which is $\geq j$ and $k$. Since $g \en G_k'$, there exists a $s \en G_s$ with $f_{sk}(y) = g$. Setting $h = f_{js}(y)$, we have $$f_{ij}(h) = f_{ij}(f_{js}(y)) = f_{is}(y) = f_{ik}(f_{ks}(y)) = f_{ik}(g)$$

II. La asignación de $f_{ik}':G_k' \rightarrow G_i'$ es surjective.

Deje $x \in G_i'$. Entonces para cualquier $j \geq i$, existe un $x_j \in G_j$$f_{ij}(x_j) = x$. En particular, $f_{ik}(x_k) = x$. Sin embargo, no sabemos de que $x_k$ realidad se encuentra en $G_k'$. Si esto no ocurre, sin embargo, es suficiente para encontrar un $g \in f_{ik}^{-1}\{x\}$, lo que hace de la mentira en $G_k'$.

Supongamos que no hay tal $g$. A continuación, para cada $g \in f_{ik}^{-1}\{x\}$, existe un índice $k_g \geq k$ que $f_{kk_g}^{-1}\{g\} = \emptyset$. Desde $f_{ik}^{-1}\{x\}$ es finito (estamos tratando con grupos finitos), podemos encontrar un índice de $j$ $\geq$ todos los índices de $k_g$. Entonces tenemos $$x = f_{ij}(x_j) = f_{ik}(f_{kj}(x_j))$$ So $f_{kj}(x_j) \f_{ik}^{-1}\{x\}$, hence $f_{kj}(x_j)$ is equal to some $g$. But then $$g = f_{kj}(x_j) = f_{kk_g}(f_{k_gj}(x_j))$$ so $f_{k_gj}(x_j) \f_{kk_g}^{-1}\{g\} = \emptyset$, una contradicción.

III. $(G_i', f_{ij}')$ formas inversa del sistema, con $\lim\limits_{\leftarrow} G_i' \cong \lim\limits_{\leftarrow} G_i$.

Es claro que $(G_i', f_{ij}')$ formas inversa del sistema. Por su límite inversa, utilizamos el canónica de la construcción, es decir, el subconjunto de los grupos de productos (en la topología producto) $$ \mathcal G' \subseteq \prod\limits_i G_i'$$ consisting of all $(x_i)$ such that $x_i = f_{ij}'(x_j)$ whenever $i \leq j$. On the other hand, $\lim\limits_{\leftarrow} G_i$ can be taken as the product $$\mathcal G \subseteq \prod\limits_i G_i$$ again consisting of all sequences $(x_i)$ where $x_i = f_{ij}(x_j)$ for all $i \leq j$. For any such $(x_i)$, it follows that the $x_i$ actually lie in $G_i'$, hence $$\lim\limits_{\leftarrow} G_i =\mathcal G = \mathcal G' = \lim\limits_{\leftarrow} G_i'$$