¿Cuál es la estimación para el positivo de la raíz de la siguiente ecuación $$ ax^k = (x+1)^{k-1} $$ donde $a > 0$ (específicamente $0 < a \leq 1$).
Podría usted señalar algunas referencias relacionadas con la pregunta?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Poner $\displaystyle z = 1 + \frac{1}{x}$ y obtenemos la ecuación
$$z^{n-1}(z-1) = a$$
(Yo prefiero usar $\displaystyle n$ en lugar de $\displaystyle k$)
Fácilmente podemos ver que $\displaystyle z \in (1,2)$
Suponga que $\displaystyle z = 1 + \frac{g(n)}{n-1}$
Así tenemos que
$$\left(1 + \frac{g(n)}{n-1}\right)^{n-1} g(n) = (n-1)a$$
Ahora tenemos que $\displaystyle e^{x/2} \lt 1 + x \lt e^x$ $\displaystyle x \in (0,1)$
Y así llegamos $$e^{g(n)} g(n) \gt (n-1)a \gt e^{g(n)/2} g(n)$$
Ahora desde $\displaystyle xe^x$ está aumentando, y la raíz de $\displaystyle xe^x = y$ está dado por la LambertW función: $\displaystyle W(y)$.
Así, tenemos que
$\displaystyle g(n) \gt W((n-1)a)$
y
$\displaystyle g(n) \lt 2 W\left(\frac{(n-1)a}{2}\right)$
Es bien sabido que $\displaystyle W(x) = \theta(\log x)$ ( $\displaystyle x \to \infty$ ) y por lo tanto obtenemos que
$\displaystyle g(n) = \theta (\log (n-1)a) = \theta(\log na)$
Por lo tanto la raíz de $\displaystyle r(n)$ $$\theta\left(\frac{n}{\log na}\right)$$
De hecho, iría tan lejos como para adivinar que
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{r(n)W((n-1)a)}{n-1} = 1$$
