¿Existe alguna intersección entre las ideas de la topología/geometría algebraica (sé que ciertamente hay una intersección no trivial entre la geometría algebraica, la topología algebraica, la geometría aritmética, etc.) y las ideas de la teoría de modelos, la teoría de conjuntos y otros temas más fundamentales? He oído que hay algunas herramientas potentes de la geometría conmutativa que se aplican a la topología (corregidme si me equivoco, por supuesto) como la cohomología de Andre-Quillen, y recuerdo haber visto una vez una charla sobre la aplicación de algunas ideas de la teoría de modelos al álgebra conmutativa (¿algo así como aplicar la teoría de modelos para poner límites superiores a los números de Betti de los anillos de Cohen-Macaulay?) Así que me pregunto si alguna de estas ideas fundacionales son relevantes (de forma no obvia, es decir, no podemos hacer matemáticas sin fundamentos) para estas otras materias.
Respuestas
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Sí, el área de la teoría de modelos por la que pregunta se conoce como "teoría de la estabilidad geométrica". Se trata de un área de investigación muy activa. La referencia estándar es el libro de Pillay con el mismo nombre.
Estas conexiones han recibido bastante atención recientemente (una búsqueda en Google le proporcionará enlaces a páginas web de conferencias y algunos artículos), siendo uno de los puntos más destacados el trabajo de Hrushovski "The Mordell-Lang conjecture for function fields", J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), no. 3, 667-690. Pero, en realidad, más El trabajo reciente en la teoría de modelos está en esta área. Por ejemplo, en la lista de publicaciones de Scanlon hay muchos ejemplos interesantes de ideas de teoría de modelos que conducen a resultados de teoría de números.
En realidad, las conexiones entre las ideas de la teoría de modelos y la geometría algebraica existen desde hace tiempo, empezando por el trabajo de Abraham Robinson, aunque es justo decir que su reciente sofisticación se debe a las profundas ideas de Hrushovski, Pillay, Zilber y sus estudiantes y colaboradores. (Me temo que cualquier lista de nombres que dé será vergonzosamente incompleta).
Asimismo, los trabajos de teoría de modelos sobre " $o$ -La "dimensionalidad" está conectada de forma seria con la geometría real-algebraica. También ha habido algunas conexiones interesantes entre esta área y la teoría de conjuntos, sobre todo debido al hecho de que la geometría real-algebraica nos da algunas ideas sobre el estudio de anillos de funciones continuas y sus cocientes. Quizá quiera consultar "Campos superreales. Totally ordered fields with additional structure", London Mathematical Society Monographs. New Series, 14. Oxford Science Publications; The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1996, por Woodin y Dales.
En una dirección diferente, Talayco, alumno de Andreas Blass, estudió las conexiones entre la cohomología y la teoría de conjuntos.
Para un enfoque completamente diferente, aunque quizás no exactamente en la dirección que usted pretende, los locales y, en general, la teoría de los topos, permiten una presentación fundacional que la gente que se siente más cómoda con las ideas de la teoría de las categorías puede preferir al enfoque de la teoría de conjuntos. La utilidad del marco radica en parte en que nos da una forma de estudiar los teoremas de dualidad (como el que relaciona los espacios de Stone con las álgebras booleanas) de forma unificada. Véase, por ejemplo, "Stone spaces" de Johnstone o "Natural dualities for the working algebraist" de Clark y Davey.
Hay un lote disponibles, desde el trabajo pionero de Ax-Kochen hasta el espectacular trabajo más reciente de Ehud Hrushovski. No estoy de acuerdo con la implicación en el post de que la Teoría de Modelos, la Teoría de Conjuntos son más fundamental que, por ejemplo, la Geometría Algebraica. ¿Igual de fundamental?
