Inducida por el mapa entre los grupos fundamentales de su cobertura de mapa es inyectiva

Question

Pregunta: Deje $f : X \to Y$ ser un mapa continuo y dejar $x \in X$, $y \in Y$ ser tal que $f(x) = y$. A continuación, hay un inducida por el mapa de $f_* : \pi_1(X, x) \to \pi_1(Y, y)$ tal que $f_*([\gamma]) = [f \circ \gamma]$.

Si $p$ es una cubierta de mapas, que muestran que las $p_*$ es inyectiva.

Mis Ideas: necesito mostrar para $\gamma, \gamma' \in \pi_1(X, x)$, que si $p \circ \gamma$ $p \circ \gamma'$ son homotópica, a continuación, $\gamma$ $\gamma'$ son homotópica.

Me siento como que estoy suponer para utilizar la ruta de acceso de elevación lema de alguna manera, pero yo no lo veo exactamente cómo hacerlo.

$p \circ \gamma$ es un camino en el $Y$, y así para cualquier punto de $(p \circ \gamma)(t)$ hay un abrir vecindario $U$ tal que $p^{-1}(U)$ es distinto de la unión de bloques abiertos asignada homeomorphicly por $p$ a $U$. $\gamma(t) \in p^{-1}(U)$. Yo estaba pensando en que me podría alguien uso este para la construcción de la homeomorphism entre el$\gamma$$\gamma'$, pero de nuevo, soy un dibujo en blanco.

Alguien puede ayudar me apunte en una dirección? Gracias!

Answer 1

Lo que estamos buscando es el homotopy elevación de la propiedad:

Deje $p:X\to Y$ una cubierta mapa, y deje $f_t:Z\to Y$ ser un homotopy, con $\tilde{f}_0:Z\to X$ un ascensor de $f_0$. Entonces no hay una única homotopy $\tilde{f}_t:Z\to X$ $\tilde{f}_0$ elevación $f_t$

Ahora, vamos a $Z=I$, por lo que el $\tilde{f}_0$ es un camino en el $X$. Supongamos que $p\circ \tilde{f}_0=f_0$ es trivial en $\pi(Y,p(x_0))$, por lo que tenemos una homotopy $f_t:I\to Y$ de los que tomaron $f_0$ a la constante camino de $f_1$. Por el homotopy el levantamiento de los bienes, esto nos da una homotopy $\tilde{f}_t$ que se lleva a $\tilde{f}_0$ a un levantamiento de la constante de ruta. Por su singularidad, con una elevación de la constante camino de $Y$ es el camino constante en $X$, por lo que, de hecho, $\tilde{f}_0$ es trivial en $\pi(X,x_0)$.

Answer 2

En lugar de trabajar con dos bucles, suponga $\gamma\in \pi_1(X,x)$ tal que $p\gamma \simeq k_y$ (constante bucle en $y$) por un homotopy $\gamma_t$ manteniendo los extremos fijos. Por el homotopy elevación de la propiedad, hay un homotopy $\gamma'_t:I \to X$ a partir de a $\gamma$ tal que $p\gamma'_t = \gamma_t$.

Probar ahora que $\gamma'_t(0) = \gamma'_t(1) =x$ todos los $t$, $\gamma'_1=k_x$ la constante bucle en $x$. Este espectáculo que $\ker p_* = 0$