¿Por qué el producto escalar de la cuatro-velocidad por sí mismo es -1?

Question

Mi libro de GR Hartle dice que el producto escalar de la cuatro-velocidad consigo mismo $-1$ ?

Considere la definición de cuatro velocidades $\mathbf{u} = \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}$ . Supongamos que tomo el producto escalar de la cuatro-velocidad con ella misma. Entonces obtengo \begin{equation} \mathbf{u}\cdot \mathbf{u} = \eta_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}\end{equation} Pero no son números. Así que, ¿por qué iba a producir $-1$ ?

Supongo que podría considerar esto como una unidad de cuatro velocidades. Pero todavía no veo cómo eso produciría $-1$ . Debe ser

\begin{equation} \mathbf{u}\cdot \mathbf{u} = -1(1)(1) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1) = 2 \end{equation}

utilizando \begin{equation} \eta_{\alpha\beta}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \end{equation}

Answer 1

Las derivadas con respecto a $\tau$ mucho son los números, pero no son todos $1$ .

Considera tu línea del mundo como una curva $\gamma$ parametrizado por $\lambda$ . Tenemos \begin{align} \gamma : \mathbb{R} & \to \mathbb{R}^4 \\ \lambda & \mapsto (x^0, x^1, x^2, x^3). \end{align} En cualquier punto de tu línea de mundo tienes una posición $(x^0, x^1, x^2, x^3)$ donde todos los componentes son funciones escalares de $\lambda$ . Puedes diferenciarlas para encontrar tus componentes de velocidad: $$ \dot{x}^\alpha \equiv \frac{\mathrm{d}x^\alpha}{\mathrm{d}\lambda}. $$ De nuevo, son funciones de $\lambda$ y cada uno de los cuatro evalúa a un número real en cada punto de la línea.

En el caso especial de que su parámetro $\lambda$ es el tiempo adecuado, entonces llamamos $\dot{x}^\alpha$ en cambio $u^\alpha$ El $\alpha$ componente de $4$ -velocidad.

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Por ejemplo, si no se moviera con respecto a las coordenadas, entonces cada espacio $x^i$ sería constante como $\lambda$ variado, por lo que tendríamos $\dot{x}^i = 0$ . También sabemos $$ \mathrm{d}\tau = \sqrt{-\mathrm{d}s^2} = \sqrt{-g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha \mathrm{d}x^\beta} = \sqrt{-g_{\alpha\beta} \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta} \mathrm{d}\lambda = \sqrt{-g_{00}} \, \dot{x}^0 \, \mathrm{d}\lambda, $$ así que $$ u^\alpha \equiv \frac{\mathrm{d}x^\alpha}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}x^\alpha}{\mathrm{d}\lambda} \frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\tau} = \dot{x}^\alpha \frac{1}{\sqrt{-g_{00}} \dot{x}^0} = \big((-g_{00})^{-1/2}, 0, 0, 0\big). $$ Puede comprobar fácilmente que $g_{\alpha\beta} u^\alpha u^\beta = -1$ en este caso.

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1 En relatividad general, sustituir $\mathbb{R}^4$ con algún conjunto abierto $U \subseteq \mathbb{R}^4$ cubriendo la parte correspondiente del colector.

Answer 2

Primero quiero señalar que decir que las cuatro velocidades $u_\mu$ satisface $u_\mu u^\mu=-1$ es un convención no es un requisito. Se trata de una elección de la parametrización $\tau$ . Sin embargo, es una parametrización muy útil, no es común utilizar otras opciones.

En esta parametrización, la cuatro velocidad toma la forma

\begin{equation} u^\mu = \left(\gamma, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z\right) \end{equation} donde $\gamma=(1-v^2)^{-1/2}$ . Entonces es fácil comprobar explícitamente que \begin{equation} u_\mu u^\mu = -\gamma^2 + \gamma^2 \vec{v} \cdot \vec{v} = -\gamma^2\left(1-v^2\right)=-1 \end{equation}

Tenga en cuenta que esto supone $|\vec{v}| < 1$ ya que de lo contrario $\gamma$ no es un número real finito. Por lo tanto, sólo se pueden parametrizar las trayectorias similares en el tiempo de manera que $\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}=-1$ .

Answer 3

¿Por qué el producto escalar de la cuatro-velocidad por sí mismo es -1

• El producto escalar es invariante
• En el sistema de coordenadas en el que el objeto está (momentáneamente) en reposo, la única componente no nula es la componente temporal.

Mira eso, en el marco de descanso, $\gamma = 1$ así $d\tau = dt$ . Entonces, (estableciendo $c = 1$ ) tenemos

$$\frac{dx^0}{dt} = 1,\,\frac{dx^i}{dt}=0 $$

Así,

$$\eta_{\alpha \beta}\frac{dx^\alpha}{dt}\frac{dx^\beta}{dt} = -1 $$