Tengo una, probablemente, bastante simple pregunta RE el HST.
Después de algo de trabajo, como puedo obtener la función de partición para la gama infinita de 1D modelo de Ising $$Z = \int_{-\infty}^\infty \frac{dy}{\sqrt{2\pi / N\beta J}} e^{-N\beta f(y)}$$ donde $$f(y)= \frac{J}{2} y^2 - \frac{1}{\beta} \ln[2\cosh(\beta(h + Jy))]$$
Ahora quiero evaluar la integral en el límite termodinámico y por lo tanto voy a estar usando el método de steepest descent. Se me pide que muestran que $$Z = \sum_i e^{-\beta N f(y_i)}$$ y tiene que encontrar la ecuación satisfecho por la $y_i$.
Así que, por supuesto, mi idea era decir que voy a obtener la contribución de cada uno de los mínimos locales de $Z$, lo que conduce a la condición de $$\frac{\partial f}{\partial y}|_{y_i} = 0$$ y $$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}_{y_i} > 0$$ Sin embargo, para obtener la forma exacta que se me pide para mostrar, también me gustaría necesita la condición de que $$\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}|_{y_i} = J$$ porque de lo contrario el prefactors no salga correcto para cancelar el uno al otro. Y ahora simplemente no veo cómo puedo obtener este resultado ya que la segunda derivada de $f$ se vuelve muy desordenado.
