¿Cómo demostrar que no hay más números enteros positivos que sean productos de 2 y 3 números consecutivos?

Question

$6$ y $210$ comparten la propiedad de que ambos son productos de dos y tres números consecutivos. $6$ es $2\times3$ y $1\times2\times3$ y $210$ es $14\times15$ y $5\times6\times7$ . Fue bastante fácil escribir un programa para buscar más números con esta propiedad, encontré que no había más hasta por lo menos $1{,}000{,}000{,}000{,}000$ ( $1$ Trillones). Pero está fuera de mi alcance demostrar que no hay más cifras como ésta o encontrar la siguiente. ¿Alguna idea?

Answer 1

En su libro Ecuación diofantina (página $257-258$ ) L.J.Mordell demostró que la ecuación $$y(y+1)=x(x+1)(x+2)$$ sólo tiene las soluciones enteras $x=-1,-2,0,1,5.$