¿Por qué no puede suspace topologías de ser el conjunto vacío?

Question

Deje $(X,\mathcal{J})$ ser un espacio topológico y deje $Y\subset X$,

Definir la colección de $\mathcal{J}'$ de los subconjuntos de a $Y$ $\mathcal{O}'\subset Y$ de la forma $\mathcal{O}'=\mathcal{O}\cap Y$ donde $\mathcal{O}\in\mathcal{J}$

A continuación, $(Y,\mathcal{J}')$ es un espacio topológico - Proporcionada $Y\ne \emptyset$

Estoy contento con la prueba, pero que no use $Y\ne\emptyset$ cualquier lugar, y yo no puedo ver lo que iba a romper si $Y$ eran nullset, sí que sería un poco inútil topología, pero inútil topoligies son todavía topologías.

Estoy seguro de $(\emptyset,\{\emptyset\})$ es un espacio topológico porque:

1. Todo el conjunto es un miembro de la topología
2. El conjunto null es un miembro de la topología
3. Finito intersecciones están cerrados
4. Los sindicatos están cerrados

Entonces, ¿por qué lo está diciendo "Siempre $Y\ne\emptyset$"

Libro: Mendelson Introducción A la Topología, Dover, página 92, en el capítulo 3 de la proposición 6.2.

Esta es probablemente una muy simple pregunta, pero me molesta que no puedo ver por qué escribe esto, así que tengo que averiguar! Yo, por supuesto, llamar a una topología de tal inútil, pero como ya he dicho, inútil topologías son todavía topologías!

Answer 1

El espacio topológico $(\emptyset,\{\emptyset\})$ tiene muchas agradable propiedades. Por ejemplo, es Hausdorff, normal, localmente compacto, conectado, y así sucesivamente.

Por otra parte tiene también la propiedad de que, para cada espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ hay un único mapa continuo $(\emptyset,\{\emptyset\})\to(X,\mathcal{T})$, y este mapa es incluso una incrustación.

Este no es el mismo como los únicos con la topología discreta, porque continua mapas de ellos a un espacio topológico no son únicas.

Varios textos definir espacios topológicos tener vacío el apoyo, pero esto no es realmente necesario. Sin embargo, si usa el texto de la definición, usted tiene que pegarse con él, al menos cuando después de las pruebas y hacer los ejercicios.

Es sólo una cuestión de convenciones. Pero, para justificar la autora del libro, el conjunto vacío tiene demasiados agradable propiedades para ser realmente útil, aparte de que algunos de los argumentos más recto, al no requerir la comprobación de que un espacio o subespacio contiene los puntos.