La convergencia de la serie de $\sum ( \cos \sqrt[3]{n^3 + \sqrt n + 7} - \cos \sqrt[3]{n^3 - 2\sqrt n + 3})$

Question

Tengo algún problema con este ejemplo: $$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\Bigg(\cos\Big(\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}+7}\Big) -\cos\Big(\sqrt[3]{n^3-2\sqrt{n}+3}\Big)\Bigg)$$

la única idea que cruzó por mi mente es utilizar ese $\cos x-\cos y=-2\sin\big({\frac{x+y}{2}}\big)\sin\big({\frac{x-y}{2}}\big)$, pero después no sé qué hacer con los senos cómo comparar a ellos o a qué otra cosa puedo hacer con ellos ?

Answer 1

Puede usted ver por qué $x-y= O(n^{-3/2})$?
Al $z$ es pequeña, $\sin z \approx z$.
A continuación, utilice la prueba de comparación con un $p$de la serie.

Answer 2

Metodología

1. Escribir $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$.
2. Caso omiso de las $-2$ e las $\sin \frac{x+y}{2}$ $\lvert \sin \alpha \rvert \leq 1$
3. En su lugar, se centran en la $\sin \frac{x-y}{2}$ plazo. Intuitivamente, como $x \approx y$ al $n$ es grande, se debe esperar para obtener pequeñas, y por lo tanto para este sine plazo para los pequeños.
4. Expandir $x-y$ en el poder de la serie a ver que $x-y = \frac{1}{n^{3/2}} + \frac{4}{3n^2} + \dots$
5. Como $\sin x \approx x$ al $x$ es pequeña, a la conclusión de que $\sin \frac{x-y}{2}$ se comporta como $\frac{1}{2n^{3/2}}$
6. A la conclusión de que la serie converge.

Answer 3

Sugerencia. Usted puede escribir, para $n$ grandes, $$ \sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}+7}=\left(n^3+\sqrt{n}+7\right)^{1/3}=n\left(1+\frac{\sqrt{n}+7}{n^3}\right)^{1/3}=n+\mathcal{O}_1\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$ y $$ \sqrt[3]{n^3-2\sqrt{n}+3}=\left(n^3-2\sqrt{n}+3\right)^{1/3}=n\left(1+\frac{-2\sqrt{n}+3}{n^3}\right)^{1/3}=n+\mathcal{O}_2\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$ por lo tanto, el uso de $\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin{\frac{x+y}{2}}\cdot \sin{\frac{x-y}{2}}$, obtenemos $$\left| \cos\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}+7} -\cos\sqrt[3]{n^3-2\sqrt{n}+3}\right|\leq2 \left|\sin \left(\mathcal{O}_3\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)\right)\right|=\mathcal{O}_4\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$ and conclude that the initial series converges as does $\displaystyle \sum \frac{1}{n^{3/2}}$.