Derivados del tensor (Derivación del tensor de tensión de energía electromagnética)

Question

Tengo la tarea de derivar el tensor de tensión de energía electromagnética. Soy bastante nuevo en la notación del índice tensorial y tengo un problema con una derivada que ocurre.

Tengo que verificar que $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\lambda})}=-F^{\mu \lambda}$ con $\mathcal{L}=-\frac{1}{2}(\partial^{\mu}A^{\nu}\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial^{\mu}A^{\nu}\partial_{\nu}A_{\mu})$

¿Puede alguien mostrarme paso a paso cómo hacer esta derivación? Entiendo la notación tensorial en sí, pero tengo problemas para entender dicha derivada, especialmente cuando tengo un término como $\frac{\partial(\partial^{\mu}A^{\nu})}{\partial(\partial_{\sigma} A_{\lambda})}$ .

Answer 1

La cuestión es que cuando se habla del lagrangiano $\mathcal{L}$ se debe considerar como un función de los campos . Así que es $\mathcal{L}[A_\mu,\partial_\nu A_\mu]$ . Se considera todos los componentes de $A$ Es decir $A_\mu$ para $\mu=0,1,2,3$ y todos los derivados de todos los componentes de $A$ Es decir $\partial_\nu A_\mu$ para $\mu,\nu=0,1,2,3$ para ser variables independientes .

Imagina que estás tratando con una función de varias variables donde las variables son los componentes de $A$ y los derivados.

Así que la derivada

$$\dfrac{\partial}{\partial(\partial_\nu A_\mu)}$$

Es una derivada con respecto a la coordenada particular $\partial_\nu A_\mu$ para este $\mu,\nu$ .

Recuerda que para coordenadas independientes $x^\mu$ la ecuación

$$\dfrac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}=\delta^\mu_\nu$$

se mantiene. Lo mismo ocurre aquí. Dado que $A_\mu$ y $\partial_\alpha A_\beta$ son coordenadas independientes tenemos

$$\dfrac{\partial A_\mu}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}=\dfrac{\partial (\partial_\alpha A_\beta)}{\partial A_\mu}=0,\quad \dfrac{\partial A_\mu}{\partial A_\nu}=\delta_{\mu\nu},\quad \dfrac{\partial (\partial_\alpha A_\beta)}{\partial (\partial _\mu A_\nu)}=\delta_{\alpha\mu}\delta_{\beta\nu}.$$

Convénzase de ello, teniendo en cuenta la ecuación anterior bien conocida en $\mathbb{R}^n$ . Es la misma ecuación, pero con diferentes nombres para las coordenadas.

Para tratar los que tienen índice elevado basta con escribir explícitamente la métrica. Así sabemos que $\partial^\mu A^\nu = g^{\mu\lambda}g^{\nu\sigma}\partial_\lambda A_\sigma$ .

En particular, tenemos

$$\dfrac{\partial( \partial^\mu A^\nu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}=\dfrac{\partial( g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho} \partial_\sigma A_\rho)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}=g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho}\dfrac{\partial( \partial_\sigma A_\rho)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}=g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho} \delta_{\sigma\alpha}\delta_{\rho\beta}=g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}.$$

Entonces sólo hay que diferenciar $\mathcal{L}$ normalmente en función de estas coordenadas. Tenemos

$$\mathcal{L}=-\dfrac{1}{2}(\partial^\mu A^\nu\partial_\mu A_\nu-\partial^\mu A^\nu \partial_\nu A_\mu)$$

Para no mezclar los índices de la contracción con el índice libre de la derivada que quieres realizar, utiliza uno diferente. Vamos a diferenciar con respecto a $\partial_\alpha A_\beta$

$$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial (\partial^\mu A^\nu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\partial_\mu A_\nu+\partial^\mu A^\nu \dfrac{\partial(\partial_\mu A_\nu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}-\dfrac{\partial(\partial^\mu A^\nu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\partial_\nu A_\mu - \partial^\mu A^\nu \dfrac{\partial(\partial_\nu A_\mu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\right)$$

Ahora, utilizando lo anterior, el resultado es el siguiente.

Answer 2

Una vez que vea cómo diferenciar un término, debería estar listo. Si tiene algo como

$$\frac{\partial}{\partial(\partial_a A_b)} \partial^c A^d$$ entonces debe reconocer primero que $$ \partial^c A^d = g^{ce}g^{df} \partial_e A_f$$ A partir de ahí, observa que estamos tratando cada derivada de cada componente de $A$ como independiente. La derivada de $\partial_e A_f$ con respecto a $\partial_1 A_3$ es igual a $1$ si $e=1$ y $f=3$ y cero en caso contrario - en otras palabras,

$$ \frac{\partial}{\partial (\partial_a A_b)} \partial_e A_f = \delta^a_e \delta^b_f$$

Y así ponerlo todo junto, $$\frac{\partial}{\partial(\partial_a A_b)} \partial^c A^d = g^{ca}g^{db}$$