¿Por qué no la órbita-estabilizador teorema obvio?

Question

El título de este post parafrasea el título de un blog genial por Timothy Gowers, donde argumenta que aquellos que piensan que el teorema fundamental de la aritmética es obvio son casi seguro que falta algo.

Me acordé de este blog al leer otra entrada de blog por el mismo autor en la órbita-estabilizador teorema de básica de la teoría de grupos.

Este teorema ha parecido siempre bastante obvio para mí, pero cuando intento seguir el hay varias pruebas de que Gowers da para ello en este post tengo un tiempo duro de lo que me pregunto si es que ahora soy yo quien ha estado tomando por obvio lo que realmente no lo es.

Mi pensamiento va algo como esto: Vamos a $G$ ser un grupo que actúa sobre un conjunto $X$, vamos a $x$ ser un elemento de $X$, vamos a $O_x$ ser la órbita de $x$ y deje $S_x$ ser el estabilizador de $x$. (La última frase se levanta el pie de la letra Gowers' post.) Queremos mostrar que $|G| = |O_x||S_x|$. Ahora, $S_x$ es (obviamente), un subgrupo de $G$, y la fórmula que se ha demostrado es sólo de Lagrange del teorema aplicado a este subgrupo. Esto es debido a dos elementos de la $G$ enviar $x$ para el mismo elemento de $O_x$ si y sólo si pertenecen a la misma coset de $S_x$, y por lo tanto $|O_x| = [G:S_x]$. Más formalmente, el mapa de $gS_x \mapsto gx$ es inyectiva, porque

$$gx = hx \; \; \Rightarrow \; \; h^{-1}gx = x \; \; \Rightarrow \; \; h^{-1}g \in S_x \; \; \Rightarrow \; \; gS_x = hS_x,$$

o, tomando el contrapositivo,

$$gS_x \neq hS_x \; \; \Rightarrow \; \; gx \neq hx.$$

También es surjective, ya que cada $gx \in O_x$ es la imagen de $gS_x$ bajo este mapa.

Es un poco doloroso ver cómo gran parte de la literatura que se necesita para explicar la percepción de que en mi mente es, literalmente, instantáneo. Aún así, el razonamiento anterior, como apaleado como es, es decir, de la OMI, más conciso y directo que Gowers'.

Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Se que faltan algunos matemáticos sutileza por el pensamiento de que la Órbita-Estabilizador Teorema es muy fácil de probar? No, no lo creo: la prueba es correcta. Por otra parte, yo desnatada Gowers blog y no creo que él dice o pretende decir que la OST es, en cierta manera profunda o no evidentes. De hecho creo que el objetivo del post es esencialmente lo contrario: para convencer a un principiante en álgebra abstracta que la OST es, si no totalmente obvio, entonces muy fácil: lo suficientemente fácil como para que alguien comprenda y recuerde que la prueba para siempre.

Gowers da varias pruebas diferentes (o tal vez más exactamente, varias exposiciones de una prueba) de la OST. Algunos de ellos tienen solo un par de líneas. El hecho de que su debate es más bien largo, es porque él está tratando de enseñar a la obviedad de OST a alguien que no es muy cómodo y familiarizado con algebraicas argumentos. Que es, por cierto, verdaderamente de alto nivel de la enseñanza de la maniobra: sería mucho más fácil escribir una línea de tres y a prueba de dejar la tarea de la interpretación es para el estudiante.

Aquí hay una gran diferencia entre el OST y el TLC: la declaración de los TLC es muy fácil y familiar, utilizando sólo los conceptos que están realmente bien conocido para la mayoría de la gente educada. Por otra parte, dado que la mayoría de la gente aprende acerca de la factorización de los números en la escuela, el nivel de experiencia con la conclusión de un TLC es esencialmente máxima. Eso no es cierto para OST: ¿cuánto tiempo pasa entre la mayoría de los aprendizaje de los estudiantes la definición de un grupo de acción y el aprendizaje de la declaración de la OST: una semana? Menos? Es una situación muy diferente: la matemática moderna tiene que ser enseñado cuidadosamente a fin de no ser una secuencia de respuestas a preguntas que nadie ha pensado (o les han dado la oportunidad de pensar) para preguntar.

La OST es uno de los teoremas para que encontrar la declaración es mucho más que un logro de la búsqueda de la prueba. Tales teoremas no son inherentemente menos útil de lo que "más profundo" teoremas.

Permítanme tomar las cosas un paso más allá: lo que el estado (que es lo que Gowers estados) como OST no es lo que yo pienso de OST sino un corolario de la misma. Lo que yo pienso de la OST es un poco más complicado instrucción que tiene la prueba incorporada a un grado más grande. A saber:

Órbita Estabilizador Teorema: Vamos a $G$ ser un grupo que actúa sobre un conjunto $X$. Para $x \in X$, vamos a $H_x$ ser el estabilizador de $x$. Entonces no es un bien definidas $G$-conjunto de isomorfismo $\Phi: G/H_x \stackrel{\sim}{\rightarrow} G x$, $gH_x \mapsto gx$.

Observe que si se combina esto con la del Teorema de Lagrange, para un subgrupo de $H$ de un grupo que hemos $(\# H)(\# G/H) = \# G$ -, entonces podemos obtener la declaración anterior de la OST. Pero debido a que hemos puesto más en la declaración (mi instrucción es más "categorified" que el tuyo, pero no vamos a entrar en eso aquí), lo que realmente es obvio. O, más precisamente, es tan obvia como podría ser: lo que necesita saber el significado de todos los términos involucrados, que para un principiante en el álgebra es un trabajo duro (que creo que es la razón por Gowers no elegir a estado OST de esta manera). Si usted sabe toda la jerga, aquí está la prooof:

$\bullet$ $\Phi$ es bien definido: si $gH_x = g' H_x$,$ g^{-1}g' \in H_x$, por lo que $g x = g (g^{-1} g' x) = g' x$.

$\bullet$ $\Phi$ es surjective: sí, lo es!

$\bullet$ $\Phi$ es inyectiva: Si $\Phi(g H_x) = \Phi(g' H_x)$$gx = g' x$, por lo que $g^{-1} g' x = x$, lo $g^{-1} g' \in H_x$, lo $g H_x = g' H_x$.

$\bullet$ $\Phi$ es una $G$mapa: si $g \in G$$z = g' H_x \in G/H_x$,$g\Phi(z) = g\Phi(g'H_x) = g(g'x) = (gg')x = \Phi((gg') H_x) = \Phi(g(g'H_x)) = \Phi(gz)$.

Tenga en cuenta que en el anterior, yo no intento escribir cosas tan brevemente como sea posible. Por el contrario, me dio todos los detalles (quizás incluso desagradable así, en la última línea). Si algo es "obvio" que no debe (creo) se mide en el número de líneas que se necesita para expresar la parte formal de la verificación de que usted tiene en su cabeza, pero en el tiempo que se tarda en encontrar la verificación formal.

Answer 2

Yo diría que el teorema es bastante obvio.

Sin embargo, si usted mira Gowers el post, que está tratando de hacer un poco más que demostrar el teorema:

• En primer lugar, él no es el procedimiento a través de la comilla del teorema de Lagrange, pero es lugar de construcción de la prueba de este caso particular del teorema de Lagrange en su argumento.

• En segundo lugar, es además interpeting los cosets de $S_x$ como precisamente los elementos de $G$ que tome $x$ a algún otro elemento $y$. En otras palabras, él está exhibiendo la bijection $G/S_x \cong X$, en un bastante concreto.

• Finalmente, está escrito para principiantes, y tratando de poner todos sus pensamientos abajo en la página. El objetivo no es encontrar la forma más sucinta de la prueba, pero a tratar de hacer las cosas en claro para un motivado principiante que está dispuesto a leer la discusión cuidadosamente.

Conclusión: No creo que te estás perdiendo nada acerca de las matemáticas, pero tal vez visualización de Gowers post a través del prisma de las más eficientes es la prueba de no es la cosa correcta de hacer.

Answer 3

Supongo que no es evidente, porque se podría concebir un elemento del conjunto tiene una pequeña estabilizador, pero tener un gran número de elementos de los grupos que enviar a la misma cosa, o, más en general, tener un número diferente de elementos del grupo de enviar un elemento a cada uno de los otros elementos. Por supuesto, si usted sabe cómo un grupo de acción funciona, que es un tipo de trvial para ver por qué esto es imposible.