La integración de la Schwarzschild geodesics ecuaciones

Question

Estoy tratando de hacer un gráfico similar a este de un artículo de Wikipedia acerca de Schwarzschild geodesics:

Hay una ecuación como esta: $$ \varphi = \int\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{1}{b^2}-(1-\frac{r_s}{r})\frac{1}{r^2}}}.$$

Yo no se cómo se las arreglan para sacar esta foto de la ecuación. Pregunta en Particular:

1. Si es un diagrama polar, generalmente es opuesto, como $r(\varphi)$, pero no $\varphi(r)$. ¿Cómo puedo dibujar el diagrama polar si he a $\varphi(r)$ función?

2. ¿Qué es la integración intervalo de aquí? $ \varphi = \int_{?}^{?}...$

Answer 1

A tu primera pregunta: el Uso de un gráfico paramétrico en $r$ o $\phi$ y el trazado de $\left\{r\cos(\phi),r\sin(\phi)\right\}$.

A la segunda pregunta: que es donde las cosas se vuelven complicadas. Dependiendo de qué tipo de geodesics sale el radio se reduce o aumenta y el ángulo es también la clase de problemáticas para el cerrado de las órbitas. Una formulación adecuada del tiempo como parámetro es más adecuado para la aplicación.

Este Wolfram Demostración Geodesics en Schwarzschild Espacio de Niels Walet tiene una simple aplicación de una integración más adecuada de tiempo.

Lo que se dice; con un poco de ajuste, uno puede, por supuesto, aplicar la ecuación diferencial para $\phi$. J. B. Hartle proporciona un Cuaderno de Mathematica aquí como complemento a su libro de la Gravedad: Una Introducción a la Relatividad General de Einstein.

Answer 2

Sólo para resumir todos los buenos comentarios y respuestas.

Si puedo usar esta simple ecuación con la integración intervalo de 0 a Rmax

$\Large \varphi(r_s,b,R_{max}) = \Huge\int_{0}^{R_{max}}\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{1}{b^2}-(1-\frac{r_s}{r})\frac{1}{r^2}}}$

Puedo obtener sólo las líneas rojas de la imagen en mi pregunta original, cuando los fotones se cae en el Agujero Negro, como M. J. Steil dijo.

Con el fin de obtener líneas de color verde esta ecuación no funciona y la solución de la ecuación diferencial es necesario. Buen ejemplo es aquí proporcionados por M. J. Steil.

A partir de este ejemplo podría obtener esta imagen donde fotón hace un bucle alrededor del agujero negro y se va de vuelta.