¿Por qué esta secuencia converge?

Question

Tengo que lidiar con la siguiente secuencia :

$\lim \limits_{x \to \infty}\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x}$

Si me factorizar a $\sqrt{x}(\sqrt{\sqrt{x}+1}-1)$, yo diría que diverge, ya que ambos factores se diversificó: $\lim \limits_{x \to \infty}\sqrt{x}= \infty $ $\lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{\sqrt{x}+1} = \infty$

Pero si escribo en WolframAlpha, llego $\frac12$ como límite. Me puede ayudar?

Answer 1

Se multiplica por el conjugado $\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}$ a obtener que $$\begin{align*}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}&=\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}\overset{(1)}=\frac{x+\sqrt{x}-x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=\\[0.2cm]&=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}+1}+1\right)}=\frac{\sqrt{\not x}}{\sqrt{\not x}\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}+1}+1\right)}=\\[0.2cm]&=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}+1}+1} \to \frac{1}{\sqrt{0+1}+1}=\frac12\end{align*}$$ as $x \to \infty$. In (1) we used the identity $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$ with $a=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ and $b=\sqrt{x}$.

Answer 2

Hay un error tipográfico en su factorización, debe ser \begin{equation*} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} = \sqrt{x} \Big( \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}-1 \Big) \end{ecuación*}

Trate de multiplicar por su conjugado, es decir, \begin{equation*} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}} \end{ecuación*}

y ampliar el numerador.

Answer 3

Has cometido un error. Nota $$ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}-1) $$ y, a continuación, racionalizar el numerador. Usted va a obtener la respuesta.

Answer 4

Su factorización es incorrecta:

$$\sqrt{x}(\sqrt{\sqrt{x}+1}-1)=\sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x}+1} - \sqrt{x}=\sqrt{x\sqrt{x}+x}-\sqrt{x}$$

Answer 5

Usted puede escribir $$ \sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x})(\sqrt{x+\sqrt{x}} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+\sqrt{x}} + \sqrt{x}}=\frac{x+\sqrt{x} de {- x}{\sqrt{x+\sqrt{x}} + \sqrt{x}}\sim \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac12 $$ como $x$ tiende a $+\infty$.