Relación entre el determinante de un mapeo lineal y la norma de un vector multiplicado

Question

Deje $S,T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ ser lineal asignaciones con $\|Sv\|\le \|Tv\|$ todos los $v\in\mathbb{R}^n$.

Es cierto en general que $|\det(S)|\le |\det(T)|$?

Answer 1

El hecho de que $\|Sv\|_2\leq\|Tv\|_2$ todos los $v$ significa que $v^*S^*Sv\leq v^*T^*Tv$ todos los $v$, $T^*T-S^*S$ es positivo semidefinite.

Se sabe que [véase, por ejemplo, Corolario 4.3.12 en el Análisis de la Matriz por el Cuerno y Johnson]:

Si $A$ $B$ son Hermitian y $B$ es positivo semidefinite, entonces $$ \lambda_i(A)\leq\lambda_i(a+B), \quad i=1,\ldots,n, $$ donde $\lambda_i(\cdot)$ indica el $i$th autovalor (ordenados en orden ascendente o descendente).

El uso de $$A:=S^*S\text{ and }B:=T^*T-S^*S$$ (hence $A+B=T^*T$) in the fact above gives $\lambda_i(S^*S)\leq\lambda_i(T^*T)$ and hence (since the eigenvalues of $S^*S$ and $T^*T$ are nonnegative) $$0\leq\det(S^*S)\leq\det(T^*T).$$ Now since for a square $X$, $$\det(X^*X)=\det(X^*)\det(X)=\overline{\det(X)}\det(X)=|\det(X)|^2,$$ we get $$|\det(S)|\leq|\det(T)|.$$

Answer 2

Si $S$ es singular, entonces $|\det S| = 0 \leq |\det T|$ es trivial. Mientras que, si $S$ es invertible, entonces también se $T$ es invertible, ya que $Tv=0 \Rightarrow Sv=0 \Rightarrow v=0$.

Por lo que podemos llamar $A=ST^{-1}$. Tenga en cuenta que $A$ es invertible, $\forall ||v|| \leq 1, ||Av|| \leq 1$. Así que todos los que tenemos que demostrar es que el $|\det A| \leq 1$ (debido a $|\det A| = \frac{|\det S|}{|\det T|}$).

Denotar por $\mu$ la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$.

Nuestra hipótesis es $$\forall v, ||Av|| \leq ||v||$$

Yo llame a $B = \{ v \in \mathbb{R}^n : ||v|| \leq 1\} $ la bola de radio $1$. Así que nuestra hipótesis implica que $A(B) \subseteq B$ donde $A(B) = \{ Av : v \in B\}$.

Ahora, tenemos $\mu(A(B)) \leq \mu(B) $, por lo que todos tenemos que demostrar es que el $|\det A|\mu(B) = \mu(A(B))$.

Pero esto es claro, ya $A$ es invertible, transformación, por lo que

$$\mu(A(B)) = \int_{A(B)} d \mu (x) = \int_{A^{-1}A(B)} |\det A| d \mu (Ax) =$$ $$= \int_B |\det A| d \mu(Ax) = |\det A| \mu(B) $$