$\mu(A) = 0 \;\;\; \Rightarrow \;\; \int_A f \,\, d\mu = 0$

Question

Me avergüenza tener que hacer esta pregunta...

Después de sumergirse en un par de teoría de la medida de los libros de texto para el último par de horas todavía no puedo averiguar qué teorema de "estándar" de la teoría de la medida, de la bazillion teoremas que estos libros dan, justifica esta tremendamente hecho obvio:

$$\mu(A) = 0 \;\;\; \Rightarrow \;\; \int_A f \,\, d\mu = 0$$

Por supuesto, espero que algunas de las restricciones que tendrá que ser colocado en la función de $f$, y, posiblemente, en la medida de $\mu$. De hecho, mi interés en la búsqueda de una declaración formal de que el teorema es para tener una idea de cómo generalmente por encima de la implicación que tiene.

(Me imagino que la implicación ha de ser cierto, al menos para la mayoría de las funciones de $f$ uno podría importa, si por ninguna otra razón que la teoría de la medida por la cual este no fue el caso, sería bastante inútil. Por lo tanto, espero que el de arriba implicación sería muy cercanas a las definiciones básicas de la teoría. Pero los libros sobre teoría de la medida que tengo a la mano el uso de tales aparatos complicados para desarrollar la teoría, que me es imposible discernir a través de toda la maquinaria de la realidad fundamental hechos como este.)

Answer 1

Siempre es true si los objetos en cuestión son bien definidos (por ejemplo, la integral de curso debe estar bien definido), y si $\mu$ es un valor no negativo medida. El resultado viene de mirar en la definición original de la integral. En particular, nos originalmente definir la integral por $$ \mu(A) = \int_A 1 \, d\mu$$ Aviso que por la monotonía, $B \subset A$ medibles implica $\mu(B) \le \mu(A)$, por lo tanto $\mu(B) = 0$. Ahora, nos dirigimos a cómo definimos las integrales de funciones. Primero nos aproximado de $f$ por una secuencia de paso de las funciones de $$ f_n = \sum_{i} a_i 1_{B_i}$$ donde $f_n \uparrow f$, y el $B_i$'s de la partición de $A$. Entonces $$ \int_A f_n \, d\mu = \sum_i a_i \int_{B_i} 1 \, d\mu = \sum_i a_i \mu(B_i) = 0$$ Desde que definir la integral de $f$ a ser el límite de las integrales en $f_n$, entonces la integral de $f$ debe también ser $0$.

Answer 2

$$\int_A f \,d\mu \leq \int_A\max(f)\,d\mu = \max(f)\int_A\,d\mu=\max(f)\mu(A)=0$$