Condiciones para 2D paseo aleatorio para volver al origen

Question

Estoy en busca de condiciones en la distribución de los tamaños de paso, que garantizan que un paseo aleatorio en el 2D celosía devolverá al origen (con probabilidad 1). Esencialmente, bajo qué condiciones puede Pólya del teorema de ser probado? Sin duda, se sostiene si los pasos son de tamaño 1 (e igualmente probables en todas las direcciones), y creo que si la variación de los tamaños de paso es finito, el retorno de la probabilidad es todavía 1. Pero, ¿qué acerca de las distribuciones con infinitas variaciones, como la distribución de Lévy? ¿"Lévy vuelo" volver al origen? Y, más en general, existen condiciones en la distribución en la que la garantía de este regreso?

Es probable que este del todo bien conocida, y si es así, los punteros a la literatura relevante, se agradecería. Gracias!

Answer 1

Estás en lo correcto. El "crudo" criterio para la repetición de un 2d de paseo aleatorio es $\mu=0$ $\sigma^2<\infty$ para el salto de distribución. El salto tamaños son de otra manera sin restricciones.

La "detallada" criterio implica la función característica $\phi$ de el salto de la distribución, es decir, su transformada de Fourier. Se dice que en 2d paseo aleatorio es transitoria o recurrentes como la parte real de la $(1-\phi(\theta))^{-1}$ es Lebesgue integrable en una vecindad del origen.

Estos resultados son de la Sección 8 de Spitzer Principios de Paseo Aleatorio (2e).

Spitzer da un ejemplo detallado de simétrica unidimensional paseo aleatorio, y demuestra que su recurrencia o la precariedad depende del tamaño de la cola de el salto de distribución. Es decir, se supone que $$0<\lim_{|x|\to\infty} |x|^{1+\alpha}P(0,x)=c<\infty,$$ and concludes that this walk is recurrent when $\alpha\geq 1$ and transient when $\alfa<1$.

Así, un tanto inesperadamente, existen simétrica transitoria paseo aleatorio en una dimensión. Su salto de distribución tiene colas grandes que el pie saltos adelante y atrás con grandes saltos y satisface $\liminf_n X_n=-\infty$ $\limsup_n X_n=+\infty$ sin garantía de volver al origen.

Debe ser posible modificar sus argumentos para el caso de dos dimensiones.