La convergencia y el límite de$\left((n+3)^{1/(n+3)}-(n+4)^{1/(n+4)}\right)^{1/(n+5)}$$n \to \infty$?

Question

Yo estaba calculando en WA algunos valores de algunas secuencias y construido esta secuencia: $$a_n=\left((n+3)^{1/(n+3)}-(n+4)^{1/(n+4)}\right)^{1/(n+5)}$$

Es inmediato que la expresión entre paréntesis tiende a $0$ ya que ambos términos tienden a $1$, pero el exponente tiende también a$0$, por lo que puede ser que en el límite este se comporta de manera similar a $x^x$ al $x$ tiende a $0$ desde el lado derecho, pero no estoy seguro.

Cómo probar la existencia de este límite y cuál es su valor?

Answer 1

Definir $f(x) := (1/x)^x$. Entonces tenemos $$ (n + 3)^\frac{1}{n + 3} - (n + 4)^\frac{1}{n + 4} = f\left(\frac{1}{n + 3}\right) - f\left(\frac{1}{n + 4}\right). $$ Por el teorema del valor medio $$ f\left(\frac{1}{n + 3}\right) - f\left(\frac{1}{n + 4}\right) = f'(c_n) \left(\frac{1}{n + 3} - \frac{1}{n + 4}\right) $$ para algunos $c_n \in (\frac{1}{n + 4}, \frac{1}{n + 3})$. Así tenemos $$ a_n = \left(\frac{f'(c_n)}{(n + 3)(n + 4)}\right)^{\frac{1}{n + 5}}. $$ Ahora podemos calcular la derivada de $f$ $$ f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^x \left(\log\left(\frac{1}{x}\right) - 1\right). $$ Si definimos $$ b_n := \left(\frac{1}{(n + 3)(n + 4)}\right)^{\frac{1}{n + 5}}, $$ entonces podemos ver que $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 1$, por lo que permanece para calcular $$ \lim_{n \rightarrow \infty} f'(c_n)^{\frac{1}{n +5}} $$ y esto debería ser sencillo.

Answer 2

Primera nota de que \begin{align*} a_n=\left((n+3)^{1/(n+3)}-(n+4)^{1/(n+4)}\right)^{1/(n+5)}\leq(n+3)^{1/(n+3)}. \end{align*} Por otra parte, a partir de Bernoulli de la Desigualdad, obtenemos \begin{align*} a_n&=\left((n+3)^{1/(n+3)}-(n+4)^{1/(n+4)}\right)^{1/(n+5)}\\ &\geq\left(1-\frac{(n+4)^{1/(n+4)}}{(n+3)^{1/(n+3)}}\right)^{1/(n+5)} \\ &\geq 1-\frac{1}{(n+5)}\cdot\frac{(n+4)^{1/(n+4)}}{(n+3)^{1/(n+3)}}. \end{align*} Dado que tanto las estimaciones de ir a 1 $n\to\infty$, obtenemos $a_n\to 1$.