Las probabilidades de un número que aparece sólo una vez en 500 tiradas en la ruleta

Question

Recientemente he observado una rueda de la ruleta, donde un número apareció sólo una vez en quinientos tiradas. Esta es una rueda de la ruleta Americana con 0 y 00, por lo que las probabilidades de cualquier número de golpear debe ser 1/38.

Me pregunto si esto sugiere que podría haber algún tipo de sesgo en esta rueda de la ruleta que está causando un número para no aparecer tan a menudo como se esperaba, o si esto se considera un resultado normal.

Me parece recordar que la mayoría de los resultados esperados caen dentro de tres desviaciones estándar de los resultados esperados, pero no tengo confianza en mi habilidad para hacer matemáticas.

Answer 1

Un ensayo con sólo dos resultados posibles (un "éxito" y "fracaso") a menudo se llama un ensayo de Bernoulli. Parece que es lo que tenemos aquí. Vamos a llamar a un éxito "tierras 00" y un fracaso "tierras de todo lo demás".

Una extensión obvia de esta idea es un experimento binomial, donde se ejecuta un número fijo de ensayos de Bernoulli ($n=500$ a partir de su descripción), cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de éxito ($p=\frac{1}{38}$ para un estándar de rueda de ruleta Americana). Estos definen un experimento Binomial, o binomial distribuido variable aleatoria. Hacemos un seguimiento de la cantidad de éxitos demasiado, y llamar a ese $k$. Entonces, para un experimento Binomial, la probabilidad de ver exactamente $k$ éxitos: $$ P(k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}. $$

Conectar sus números, obtenemos $$\begin{alignat}{3} P(k) &= \binom{500}{1} &\cdot \bigg(\frac{1}{38}\bigg)^1 &\cdot \bigg(\frac{37}{38}\bigg)^{500-1}\\ &= 500 &\cdot \bigg(\frac{1}{38}\bigg) &\cdot \bigg(\frac{37}{38}\bigg)^{499}\\ &\approx 2.19 \times 10^{-5}\end{alignat}$$

Si se toma la ecuación de distancia, es fácil ver donde cada una de las tres piezas. El primero, el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$, indica cuántas maneras que usted podría haber observado $k$ éxitos durante la $n$ ensayos. En este caso, es de 500 porque podría haber sido el primer, segundo, ..., o en la última prueba. El siguiente componente indica la probabilidad de observar los $k$ éxitos, mientras que el último le dice que la probabilidad de observar el resto de los fracasos. Como usted puede, al recordar que la probabilidad de fallo debe ser $1-p$ desde a) el éxito y el fracaso son nuestras únicas opciones b) son mutuamente excluyentes y c) mutuamente exclusivos y exhaustivos probabilidades suma a uno.

Ir a través de la distribución binomial es bueno porque podemos adaptar este formalismo para calcular otras cosas, como la probabilidad de ver $k$ o más (o $k$ o menos) de los éxitos en su lugar, que podría ser más relevante.

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Tenga en cuenta que estos valores son para una sola, pre-especificado lugar en la rueda. Tal vez usted siempre jugar su madre, fecha de nacimiento, he oído un rumor de que el casino fue el jugador tramposo y desea comprobar. El $p$-valor que obtiene de este cálculo será correcto en este caso.

Ahora, considere un escenario ligeramente diferente. Supongamos que usted apuntes sobre el resultado de cada tirada (es raro casino) y revisado cuando llegó a su casa. Observa que "00" fue la menos probable resultado y comenzar a preguntarse si algo raro está sucediendo. En este caso, el $p$-valor que se calcula que va a ser engañoso, porque se han utilizado los mismos datos para generar hipótesis y la prueba de ello. Este efecto es sorprendentemente fuerte, como se puede ver en una simulación. Empecé por la generación de 500 enteros entre 1-38 y tabular la frecuencia de cada número se ha producido. Esto imita el resultado de una única sesión. Me repite este procedimiento 10.000 veces. En promedio, cada número viene hasta 1/38 de la época (13.15/500 ensayos), como era de esperar de una feria de la rueda de la ruleta. Sin embargo, la más rara de número en cada sesión sólo llega hasta 6.1/500 veces. La probabilidad de ver exactamente seis éxitos es bastante pequeño (~0.01), como es la probabilidad de ver seis o menos éxitos (~0.02), aunque nuestra simulación es, por construcción, la feria. Una forma de combatir este problema es dividir los datos. Usted podría utilizar una parte de los datos para generar una hipótesis, luego de probarlo en el resto de los datos.

Alternativamente, usted podría usar un $\chi^2$, o el chi-cuadrado de la prueba. Esta prueba compara su observó cuenta que el número esperado de cuenta (1/38 * 500). Esta directamente las pruebas de su hipótesis subyacente--la rueda de la ruleta es justo--sin dragado a través de los datos para encontrar un espacio específico para la prueba.

Answer 2

Tengo la intención de que este sea un comentario, pero lo tengo demasiado tiempo.

Una cosa que no parecen haber sido mencionado en las respuestas hasta el momento (o si se fue, yo me lo perdí) es el hecho de que suena como si, en vez de especificar el evento de interés de antemano (es decir, antes de giros, diciendo: "vamos a girar 500 veces y ver si un número en particular, dicen 36 -- sube 1 o menos veces"), en lugar de la simple observación de 500 giros y sobre cualquier suficientemente extraño-aparente resultado pidiendo post hoc: "Wow, ¿cuáles son las posibilidades de que??" - es decir, no los datos que observar conducen a la pregunta que usted desea, a continuación, la prueba en el mismo los datos (tales como "hace 36 subido demasiado rara?" después de que lo ven sólo una vez), es decir, los datos generados hipótesis.

Las respuestas que tienen actualmente intento de abordar una pregunta de la primera clase pero en realidad no son suficientes para responder a una pregunta de la segunda clase, porque no está claro lo que otros, los resultados nos han llevado a formular una pregunta de la forma "Wow, ¿cuáles son las posibilidades de que??".

Para algunos explicación de los temas, consulte este artículo de la wikipedia Pruebas de hipótesis sugeridas por los datos, o a cualquiera de un buen número de puestos en el sitio (tales como El Riesgo de dados de juego de juego problema$\!$).

Answer 3

Definitivamente no es un resultado normal.

Si la ruleta es justo luego de 500 vueltas se espera obtener alrededor de 13 apariciones de un determinado número de(500/38$\approx$13).
Si utiliza el Bernulli para $k=13$ encontrarás 11.13%, lo que significa que existe 11.13% de probabilidad de cierto número que aparece exactamente 13 veces en 500 vueltas. En otras palabras, si usted repite el 500 giros de la prueba muchas veces, se espera en 11.13% de los ensayos, para tener exactamente 13 apariciones de el número. No menos, no más, pero exactamente 13 apariencias. También si usted trata de la Bernulli para "$k$" otro de 13, siempre vas a encontrar a menos de 11.13%. Significado, 13 es la más posible la frecuencia de 'aspecto' de un cierto número de 500 vueltas.

Para k=1, como se muestra en la otra respuesta, $P(k)\approx0.00219\%$. Al parecer es muy poco probable que haya sólo un éxito en 500 vueltas. Es muy probable que las apariencias de un número será de alrededor de 13. Vamos a intentar por todos los $k\in[13\pm7]$. Esta será la probabilidad de tener 6 hasta 20 apariencias de un número en un 500 giros de la prueba.
$$\sum_{k=6}^{20}\binom{500}{k}(\frac{1}{38})^{k}(1-\frac{1}{38})^{500-k}\approx96.48\%$$
Espero que esto deja en claro cuál es la respuesta. La ruleta es sesgada o...

Answer 4

Como ya se ha señalado con @MattKrause al final de su respuesta, si usted realmente desea saber si el hecho de la observación de sólo una apariencia de un número dado al girar la ruleta de 500 veces, confirma que existe un sesgo en la rueda de la ruleta, entonces usted debe realizar una prueba estadística apropiada.

Más precisamente, una prueba de proporciones se aplicará, su nula e hipótesis alternativa:

$$ \left\{ \begin{array}{llc} H_0:&p = 1/38 \\ H_1:&p \neq 1/38 \end{array} \right. \, \text{.} $$

La hipótesis alternativa $H_1$ también $p < 1/38$, si de hecho se sospecha que el número de objetos de interés aparece menos veces de lo esperado (como parece ser el caso).

Para resolver esta prueba de hipótesis basándose en sus datos observados, una prueba de chi-cuadrado o exacta prueba binomial podría ser utilizado, por ejemplo.

NOTA: Si usted se ha registrado como muchas veces, todos los números en la ruleta apareció en 500 giros, entonces también se puede comprobar la tendencia de rueda mediante la realización de una multinomial de la prueba.