Estoy interesado en los coeficientes de $x$ en la expansión de
$$ (x-1)(x-2)\cdots(x-k) = x^k + P_1(k) x^{k-1} + P_2(k)x^{k-2} + \cdots + P_k(k),$$
Donde $k$ es un número entero. En particular, estoy interesado en el pensamiento de estos coeficientes como polinomios en $k$.
No es duro para demostrar que,
$$ P_1(k) = -\sum_{i=1}^k i =-k(k-1)/2 $$ $$ P_2(k) = \sum_{i=2}^k i \sum_{j=1}^{i-1} j = k^4/8 + k^3/12-k^2/8-k/12$$
Y estoy bastante seguro de que $$ P_n(k) = (-1)^k\sum_{i_1=n}^k i_1 \sum_{i_2=1}^{i_1-1}i_2 \sum_{i_3=1}^{i_2-1}i_3\cdots i_{n-1}\sum_{i_n=1}^{i_{n-1}-1}i_n$$
No he llegado a probarlo, pero funciona para $P_1$, $P_2$ y $P_3$ que me da un poco de confianza en la fórmula. Para el propósito de esta pregunta supone que la fórmula de las obras en general.
El último polinomio es un poco incómodo porque $P_k(k) = (-1)^kk!$, lo cual significa que los coeficientes son fuertemente dependiente de la $k$ y poco definidas. Sin embargo, estoy principalmente interesado en $P_n$ al $n<k$.
Mis preguntas son las siguientes,
- Hay una fórmula simple para los coeficientes de $P_n(k)$.
- Hay un estrecho límite superior $M_k \geq P_n(x)$ $x=1,2,\ldots,k$ que tiene para todos los $n$.
- Yo también estaría interesado en un límite superior en los coeficientes de si su forma explícita no está disponible.
