Estoy buscando una prueba para la siguiente conjetura. Creo que el resultado se sigue de la aplicación de una generalización de la de Cauchy-Binet fórmula para la matriz $\mathbf{M}$ se define a continuación. Lo he probado tanto como yo podría usar Mathematica y estoy convencido de que es cierto, pero no he sido capaz de demostrarlo. Cualquier ayuda será muy apreciada.
El programa de instalación
Supongamos $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $(n \times m)$ $(m \times n)$ matrices respectivamente, con $n<m$$\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{B})=n$.
Vamos $K \equiv \{1,\dots,m\}$, $\mathbf{X}_{k}$ denotar la matriz $\mathbf{X}$ manteniendo sólo las columnas y filas en $k$, $\mathbf{X}_{rk}$ denotar la matriz $\mathbf{X}$ manteniendo solo las filas de $k$, e $\mathbf{X}_{ck}$ denotar la matriz $\mathbf{X}$ manteniendo sólo las columnas en $k$. También, para cualquier $k \subset K$, vamos a $K_n$ el conjunto de los subconjuntos de a $K$ $n$ elementos.
Luego, utilizando el Cauchy-Binet fórmula, el determinante de la matriz $\mathbf{A}\mathbf{B}$, que se denota por a $\Delta$, puede ser escrito como
$$\Delta \equiv \det(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \sum_{k\in K_n}{\det(\mathbf{A}_{ck})\det(\mathbf{B}_{rk})}. $$
Denotar cada elemento de esta suma por
$$ d_k \equiv \det(\mathbf{A}_{ck})\det(\mathbf{B}_{rk}), \;\;\;\;\text{for all }k \in K_n.$$
Considere la matriz $\mathbf{M}$ dada por
$$ \mathbf{M} = \mathbf{B}(\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{A}, $$
con el director de menores de edad dado por $\det(\mathbf{M}_{k})$ cualquier $k \in P(K)$ donde $P(K)$ es el juego de poder de $K$ (el conjunto de todos los subconjuntos de a $K$).
Conjetura
Quiero mostrar que $$ \det(\mathbf{M}_{k}) = \frac{1}{\Delta}\sum_{j\in \{ i \in K_n : k \subset i \}}d_j, \;\;\;\;\text{for all }k \in P(K) $$
Ejemplo para aclarar la notación
Supongamos que $m=3$$n=2$. Luego, a partir de las definiciones que tienen que
\begin{align} P(K) =& \{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\[3ex] K_n =& \{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\} \\[3ex] \mathbf{A} =& \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{de la matriz}\right], \;\;\; \mathbf{B} = \left[\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{de la matriz}\right] \\[3ex] \mathbf{A}\mathbf{B} =& \left[\begin{matrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}\end{de la matriz}\right] \end{align}
y la de Cauchy-Binet fórmula implica
\begin{align} \det(\mathbf{A}\mathbf{B}) =& \det(\mathbf{A}_{c\{1,2\}})\det(\mathbf{B}_{r\{1,2\}}) + \det(\mathbf{A}_{c\{1,3\}})\det(\mathbf{B}_{r\{1,3\}}) + \det(\mathbf{A}_{c\{2,3\}})\det(\mathbf{B}_{r\{2,3\}}) \\[2ex] =& \det\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{de la matriz}\right]\det\left[\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{de la matriz}\right] + \det\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{de la matriz}\right]\det\left[\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{31} & b_{32} \end{de la matriz}\right] + \\[1ex] & \det\left[\begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{de la matriz}\right]\det\left[\begin{matrix} b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{de la matriz}\right]. \end{align}
De nuevo, usando las definiciones anteriores tenemos que
\begin{align} d_{\{1,2\}} \equiv & \; \det(\mathbf{A}_{c\{1,2\}})\det(\mathbf{B}_{r\{1,2\}}) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[1ex] d_{\{1,3\}} \equiv & \; \det(\mathbf{A}_{c\{1,3\}})\det(\mathbf{B}_{r\{1,3\}}) \\[1ex] d_{\{2,3\}} \equiv & \; \det(\mathbf{A}_{c\{2,3\}})\det(\mathbf{B}_{r\{2,3\}}) \\[3ex] \Delta \equiv & \; d_{\{1,2\}}+d_{\{1,3\}}+d_{\{2,3\}} \end{align}
y, con un poco de álgebra, es fácil comprobar que el director menores de $\mathbf{M}$ puede ser escrito como
\begin{align} \det(\mathbf{M}_{\{1,2\}}) =& \; \frac{1}{\Delta}\sum_{j\in \{1,2\}}d_j =\; \frac{1}{\Delta}d_{\{1,2\}} \\[2ex] \det(\mathbf{M}_{\{1,3\}}) =& \; \frac{1}{\Delta}\sum_{j\in \{1,3\}}d_j =\; \frac{1}{\Delta}d_{\{1,3\}} \\[2ex] \det(\mathbf{M}_{\{2,3\}}) =& \; \frac{1}{\Delta}\sum_{j\in \{2,3\}}d_j =\; \frac{1}{\Delta}d_{\{2,3\}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\[2ex] \det(\mathbf{M}_{\{3\}}) =& \; \frac{1}{\Delta}\sum_{j\in \{\{1,3\},\{2,3\}\}}d_j =\; \frac{1}{\Delta}(d_{\{1,3\}}+d_{\{2,3\}}) \\[2ex] \det(\mathbf{M}_{\{2\}}) =& \; \frac{1}{\Delta}\sum_{j\in \{\{1,2\},\{2,3\}\}}d_j =\; \frac{1}{\Delta}(d_{\{1,2\}}+d_{\{2,3\}}) \\[2ex] \det(\mathbf{M}_{\{1\}}) =& \; \frac{1}{\Delta}\sum_{j\in \{\{1,2\},\{1,3\}\}}d_j =\; \frac{1}{\Delta}(d_{\{1,2\}}+d_{\{1,3\}}) \end{align}
Por otra parte, $\det(\mathbf{M}_{\{1,2,3\}}) =0$ se deduce del hecho de que $\det(\mathbf{M}_{\{1,2,3\}})$ es un director menor de orden $3>2=n$. Todos los principales menores de $\mathbf{M}$ a de orden mayor que $n$, son iguales a cero, ya que $\operatorname{rank}(\mathbf{M})=n$.
Intentos de prueba utilizando las sugerencias de @darijgrinberg
Fix $k \in P(K)$ y deje $v\equiv |k|$, es decir, el número de elementos en $k$. Primero supongamos que $v \gt n$, por lo que el $\det(\mathbf{M}_k)=0$, ya que el $\operatorname{rank}(\mathbf{M}_k)=0$, e $\{ i \in K_n : k \subset i \} = \emptyset$, por lo que la hipótesis se tiene trivialmente.
Siguiente, supongamos que $v \le n$. Lo que sigue es una tentativa.
El trabajo con la definición de $\mathbf{M}_{k}$:
Por definición,
$$ \mathbf{M}_{k}=\mathbf{B}_{rk}(\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{A}_{ck} $$
donde $\mathbf{B}_{rk}$ $(\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{A}_{ck}$ $(v \times n)$ $(n \times v)$ matrices respectivamente. Deje $L\equiv \{1,\dots,n\}$ $L_v$ el conjunto de los subconjuntos de a $L$ $v$ elementos, y de la de Cauchy-Binet fórmula tenemos que
$$ \det(\mathbf{M}_{k})=\sum_{j \in L_v}\det\left(\mathbf{B}_{rk,cj}\right)\det\left((\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj}^{-1}\mathbf{A}_{ck}\right), \tag1$$
y
$$ \det\left((\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj}^{-1}\mathbf{A}_{ck}\right)=\sum_{i \in L_v}\det\left((\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj,ci}^{-1}\right)\det\left(\mathbf{A}_{ri,ck}\right).$$
Así que
$$ \det(\mathbf{M}_{k})=\sum_{i,j \in L_v}\det\left((\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj,ci}^{-1}\right)\det\left(\mathbf{A}_{ri,ck}\right)\det\left(\mathbf{B}_{rk,cj}\right),$$
y ya
$$ (\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1}=\frac{1}{\Delta}\operatorname{adj}(\mathbf{A}\mathbf{B}) \implies (\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj,ci}^{-1}=\frac{1}{\Delta}\operatorname{adj}(\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj,ci} $$
de ello se sigue que
$$ \det(\mathbf{M}_{k})=\frac{1}{\Delta^v} \sum_{i,j \in L_v}\det\left(\operatorname{adj}(\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj,ci}\right)\det\left(\mathbf{A}_{ri,ck}\right)\det\left(\mathbf{B}_{rk,cj}\right).$$
A continuación, para cada una de las $i,j \in L_{v}$ definir $i'\equiv \{1,\dots,n\}\setminus i$$j'\equiv \{1,\dots,n\}\setminus j$, luego de ello se deduce a partir del teorema de Jacobi que
$$ \det(\operatorname{adj}(\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj,ci})=(-1)^{\sigma_{ij}}\det(((\mathbf{A}\mathbf{B})^{\top})_{rj',ci'})\Delta^{v-1}=(-1)^{\sigma_{ij}}\det(\mathbf{A}_{rj'}\mathbf{B}_{ci'}) $$
donde
$$ \sigma_{ij} \equiv i_{v+1}'+\cdots+i_{n}'+j_{v+1}'+\cdots+j_{n}' $$
y, por lo tanto,
$$ \det(\mathbf{M}_{k})=\frac{1}{\Delta}\sum_{i,j \in L_{v}}(-1)^{\sigma_{ij}}\det(\mathbf{A}_{rj'}\mathbf{B}_{ci'})\det(\mathbf{A}_{ri,ck})\det(\mathbf{B}_{rk,cj}) $$
Hasta ahora no he sido capaz de pasar de aquí.
Trabajando con la conjetura de la ecuación:
Observe que para cualquier $j \in K_{n}$,
$$ \det((\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{A}_{cj})=\frac{1}{\Delta}\det(\mathbf{A}_{cj}), $$
de modo que la conjetura puede escribirse como
$$ \det(\mathbf{M}_{k}) = \sum_{j\in \{ i \in K_n : k \subset i \}}\det(\mathbf{B}_{rj})\det((\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{A}_{cj}), \tag2$$
que se parece ecuación de $(1)$, reescrito por comodidad, aquí
$$ \det(\mathbf{M}_{k})=\sum_{j \in L_v}\det\left(\mathbf{B}_{rk,cj}\right)\det\left((\mathbf{A}\mathbf{B})_{rj}^{-1}\mathbf{A}_{ck}\right). $$
No estoy seguro de cómo lidiar con la diferencia en los índices entre las dos ecuaciones. Mi conjetura es que voy a necesitar el uso de una expansión de Laplace a la ecuación de $(2)$.
