Encontrar funciones con $\phi (\lim_{p \to 0}||f||_p)=\int_{0}^1 (\phi \circ f)dm$

Question

Si $m$ es la medida de Lebesgue en $[0,1]$ para qué funciones $\phi$ en $[0,\infty)$ ¿la relación $$\phi (\lim_{p \to 0}||f||_p)=\int_{0}^1 (\phi \circ f)dm$$ se cumplen para cualquier función positiva acotada y medible $f$ .

La pista dada es para mostrar $c\phi (x) +(1-c)\phi(1)=\phi(x^c)$ ( $x>0$ , $0 \le c \le 1$ ).

Mi intento: Tomando $f(t)= x \chi_{(0,c)}+\chi_{(c,0)}$ Tengo $c\phi (x) +(1-c)\phi(1)=\phi(x^c)$ esto es porque $\lim_{p\to 0}||f_p||=x^c$ ¿Y ahora qué?

También tomando $f=x\chi_{(0,c)}$ da $\phi(x)=\phi(0)$

Adicional: Según el usuario Mustafa Said las funciones pueden ser aquellas que son cóncavas y desaparecen en $0$ .

Answer 1

Sugerencia: Después de haber demostrado que dicha función satisface

$$c\phi(x) + (1-c)\phi(1) = \phi(x^c)\tag{1}$$

para $x > 0$ y $c\in [0,1]$ Consideremos la función $\psi \colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dado por

$$\psi(t) = \phi(e^t).$$

¿Qué hace $(1)$ se traduce en términos de $\psi$ ?

Answer 2

Yo esbozaré la solución y te diré dónde usar la desigualdad de Jensen y tu trabajo será completar los detalles.

Primero, $m[0,1]=1$ y $f \in L^p[0,1]$ para algunos $p>0$ así que $f \in L^q[0,1]$ para $0<q<p$ .

Ahora muestra:

i) $\log||f||_q \geq \int \log |f|$ Aquí es donde se utiliza la desigualdad de Jensen.

ii) $(\int |f|^q - 1)/q \geq \log ||f||_q$ y $(\int |f|^q - 1)/q \to \int \log |f|$ como $q \to 0$ .

iii) $\lim_{q \to 0} ||f||_q = \exp(\int \log |f|)$