$k$-puntos racionales de un esquema sobre $K$

Question

Deje $K/k$ ser una extensión de los campos, vamos a $X_0$ ser un esquema sobre $k$, y deje $X:=X_0\times_k\mathrm{Spec}\;K$, por lo que el $X$ se define sobre $k$. En este escenario, veo a menudo la frase "$k$-puntos racionales de $X$," lo que me confunde porque esto requeriría un mapa de $K\to k$, pero no hay mapa existe. ¿Esta frase significa implícitamente la $k$-puntos racionales de $X_0$? O, qué significa el subconjunto de $K$-puntos racionales de $X$ definido por $k$-puntos racionales de $X_0$ través $\mathrm{Spec}\;K\to\mathrm{Spec}\;k\to X_0$ y el universal de la propiedad de la fibra de producto? Tal vez estos dos respuestas están diciendo la misma cosa, ya que yo sólo soy canónicamente la identificación de las $k$-puntos racionales de $X_0$ con un subconjunto de la $K$-puntos racionales de $X$.

Un ejemplo que tengo en mente es que el $X_0$ es el esquema afín asociado a un número finito dimensional espacio vectorial $V$$k$. A continuación, $X$ es el esquema afín asociado a $V\otimes_kK$, y el "$k$-puntos racionales de $X$" son los puntos de espacio vectorial $V$, o las de el subespacio $V\otimes_k1\subset V\otimes_kK$.

Es mi interpretación de la frase "$k$-puntos racionales de $X$" correcto? Si es así, ¿consideramos que estos puntos como un subconjunto de la $K$-puntos racionales de $X$ tal como la he descrito arriba?

Answer 1

Este es un abuso de lenguaje. Como su vinculados ejemplo se muestra, se produce en la algebraica de los grupos de la literatura (y yo diría que, probablemente, sólo en que la literatura). Esto es debido a que por diversas razones lenguaje clásico persistido por mucho más tiempo en esta área que en otras partes de la geometría algebraica.

En cualquier caso, si $X$ es obtenido por base el cambio de a$K$$X_0$$k$, luego "la $k$-puntos de $X$" significa precisamente "la $k$-puntos de $X_0$".

Como se señaló en la pregunta, tensoring con $K$ da una canónica de la incrustación de $X_0(k)$ ($k$- puntos de $X$ $k$- esquema de) a $X(K)$ ($K$$X$$K$- esquema), y de esta manera podemos considerar a la $k$-puntos de $X$ como un subconjunto de la $K$-puntos de $X$. Esto da una (ligera) justificación por este abuso del lenguaje.

Tenga en cuenta también que $X(K)$ ($K$- puntos de $X$ $K$- scheme) es canónicamente identificado con $X_0(K)$ ($K$- puntos de $X_0$ $k$- esquema), sólo que usando la característica universal. Por lo tanto las canónica de la incorporación de la $X_0(k)$ $X(K)$ también puede ser considerado como el más obvio) la incorporación de la $X_0(k)$ a $X_0(K)$.

Finalmente, como Keenan Kidwell notas en los comentarios, toda esta discusión mucho depende de la elección de la $k$- $X_0$ subyacen a la $K$ -$X$. (Si elige una diferente $X_0'$, digamos, dando lugar a la misma $K$ -$X$, luego $X_0'(k)$ probablemente sería identificado con un subconjunto diferente de $X(K)$$X_0(k)$.)