¿Cómo funciona la suma de la serie "$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6\ldots$" hasta el infinito = "$-1/12$"?

Question

(Se me pidió editar la pregunta a explicar por qué es diferente que una propuesta de pregunta duplicada. Esto parece contraproducente que hacer aquí, dentro de la pregunta por sí misma, pero que es lo que me han preguntado por el sitio y moderadores. No hay manera para mí para votar en contra de sus votos. Así que, aquí voy: por Favor, dejen de votar este como un duplicado tan rápidamente, lo que finalmente conducirá a esta pregunta siendo cerrada. Sí, la otra cuestión vinculada a la pregunta de la misma matemáticas, pero cualquier recién llegado al problema que fue expuesto a través de la física, como yo, prefieren esta pregunta en lugar de la que es puramente matemática. Pido a los moderadores a no ser pedante. Esta pregunta se derrama en la física, que es la razón por la que hice el puesto de la cruz a la física del foro así.)

¿Cómo funciona la suma de la serie "1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6..." hasta el infinito = "-1/12", en el contexto de la física?

He oído Lawrence Krauss decir esto una vez, durante un debate con Hamza Tzortzis (http://youtu.be/uSwJuOPG4FI). He encontrado una transcripción de otro debate entre Krauss y William Lane Craig, que tiene la misma suma. Aquí está el párrafo completo:

Vamos a ir a algunas de las cosas que el Dr. Craig habló. De hecho, la la existencia del infinito, el cual habla acerca de lo que es auto-contradictoria, no es auto-contradictorio. Los matemáticos saber con precisión cómo lidiar con el infinito; de la misma manera que los físicos. Confiamos en infinitos. De hecho, hay un campo de las matemáticas llamado "Complejo Variables", que es la base de gran parte de la física moderna, a partir de electro-magnetismo de la mecánica cuántica y más allá, donde, de hecho, nos aprender a lidiar con el infinito, sin que los infinitos no podíamos hacer el de la física. Sabemos cómo de la suma de la serie infinita porque podemos hacer complejo análisis. Los matemáticos nos han enseñado cómo. Es extraño y muy poco apetecible, y de hecho se puede resumir las cosas que se ven ridículos. Para ejemplo, si usted suma la serie, "1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6..." hasta el infinito, ¿cuál es la respuesta? "-1/12." No te gusta? Demasiado malo! El la matemática es coherente si tenemos que asignar. El mundo es la forma en que es, nos guste o no.

-- Lawrence Krauss, el debate, William Lane Craig, 30 de Marzo de 2011

Fuente: http://www.reasonablefaith.org/the-craig-krauss-debate-at-north-carolina-state-university

Puesto de la CRUZ: no estoy seguro de si debo publicar esto en las matemáticas o la física, por lo que he publicado en ambos. Puesto de la cruz: http://physics.stackexchange.com/questions/92739/how-does-the-sum-of-the-series-1-2-3-4-5-6-to-infinity-1-12

EDIT: no me refiero a comenzar un debate sobre por qué Krauss dijo este. Yo sólo quería entender este interesante matemáticas. Él probablemente estaba tratando de mostrar Craig la falta de comprensión de las matemáticas o de la lógica o de física o de algo. Cualquiera que sea su propósito, puede ser determinado por el contexto completo de la secuencia de comandos que he enlazado más arriba. Cualquiera que esté interesado, por favor. Por favor, no lo juzgo fuera de contexto. Ya he visto uno de estos debates, entiendo el contexto y no sostenga la falta de un desglose completo como ser ignorante. Tenga en cuenta el debate escuché esto en la era diferente en el debate anterior.

Answer 1

Como Físico, he de admitir que la de arriba es uno de los muchos abusos de las matemáticas que se produce en la física teórica como en la teoría de cuerdas y la teoría cuántica de campos. De hecho, el pseudo "continuación analítica" de $1+2+3+\dots$ $-1/12$ el uso de la Riemann zeta función es realizada como una caída en la que una serie infinita que en realidad ocurre en el desarrollo de la teoría de cuerdas de tipo de acabar con él. Otros muchos perturbador que las cosas sucedan en la física como eso.

Llaman desvergonzado, pero los físicos están de esa manera. Una especie de cómo nos gritan cuando los químicos pensar que configuraciones electrónicas son realmente precisas sobre el hidrógeno, el "menor", campo siempre es menos riguroso que el antecedente...

Answer 2

Que es una broma o una prueba de la ignorancia: tenemos Riemann zeta función

$$\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\;\;,\;\;\text{which converges for}\;\;\text{Re}(s)>1$$

Si ponemos $s=-1$, realmente llegamos

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{-1}}=1+2+3+\ldots$$

y sabemos que los zeta el valor de la función en$\;z=-1\;$$\;-\frac1{12}\;$ ....pero ...la de Riemann zeta función en ese valor es no la anterior serie infinita pero otra cosa (google" funcional de la ecuación para la función zeta), y a partir de ella, tendremos que el valor de $\;-\frac1{12}\;$ .

Para poner $\;1+2+3+\ldots=-\frac1{12}\;$ es como un matemático broma (no debate el humor...), y quienquiera que en realidad afirma que esta es probablemente un ignorante de los hechos anteriores.

Answer 3

Él probablemente significaba Ramanujan suma, que asigna divergentes de la serie de un número. Todavía no es "La Respuesta" a la suma de la serie, ya que este es claramente el infinito, es sólo un número asignado a una serie.

Si eso es efectivamente lo que él quiso decir, en lugar de las ruinas de su argumento, pero vamos a suponer que se dijo en el calor del debate.

Answer 4

Como se señaló en otra respuesta, el "resultado" está relacionada con la de Riemann zeta función, $\zeta(z)$, el cual puede ser definido por la serie de $\zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-z}$ al $\text{Re}(z)>1$. Esto puede ser extendido por la continuación analítica de todas las $z$; el único resultado es la función zeta, que tiene un simple poste de $z=1$ y es holomorphic en el resto de $\mathbb{C}$.

El proceso de continuación analítica es interesante por derecho propio, y es posible que desee saber cómo funciona en este caso. Una manera de describir esto es que usted puede utilizar el valor de una función y su primera $n$ derivadas en un punto de $z_0$ para estimar el valor de la función y su primera $n-1$ derivados en un segundo punto, $z_1$ (y si $|z_1-z_0|$ es lo suficientemente pequeño, este proceso convergen como $n\rightarrow \infty$). Puede calcular el valor de la función y su primera $n-2$ derivados en un tercer punto, $z_2$ (lo suficientemente cerca como para $z_1$), y así sucesivamente. Mediante el trazado de un camino que evita las singularidades (que $z_{i+1}$ es siempre dentro del radio de convergencia de la expansión en series de Taylor en $z_{i}$), puede definir el valor de la función de fuera de la región original, en términos puramente de el valor de la función y sus derivados ("germen") en un solo punto. En este caso, por ejemplo, usted puede optar $z=2$ a empezar desde; el germen, a continuación, sólo depende de las sumas $$ \frac{d^k}{dz^k}\sum_{n=1}^{\infty}n^{z}\bigg\vert_{z=2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^k\log^k n}{n^2}. $$