¿Cómo puedo explicar a mi hermano de 9 años que $8a\cdot4a \neq 64a$

Question

Mi hermano menor tuvo ayer un examen de pre álgebra y le pidieron que dijera si dos expresiones son iguales o no.

Estamos de acuerdo en la mayoría de las cosas, pero en esta me cuesta que acepte mi respuesta. Se le pidió que dijera si $8a\cdot4a [\space\space\space\space\space\space\space\space] 64a$ son iguales o no. Comprobó un caso concreto (uno de los 2 únicos casos en los que esta ecuación es cierta) y demostró que para $a = 2$ la ecuación se mantiene, y me resulta difícil hacer que esté de acuerdo conmigo en que si la ecuación se mantiene sólo para $a = 0,2$ que las dos expresiones son iguales para los $a$ 's sólo y por lo tanto la expresión no puede ser llamada igual .

Creo que me está costando explicarle la definición de igualdad con variables, y aquí es donde entras tú.

Answer 1

Hay diferentes tipos de la llamada "igualdad". Una identidad identifica dos formas diferentes de una misma expresión, ya sea $$1/2 ≡ 2/4,\\1/2 ≡ 0.5,\\x+x ≡ 2x, \\(x-1)(x-2) ≡ x²-3x+2, \\f(x) ≡ x+1,$$ y así sucesivamente.

La equivalencia es un concepto esencial que se encuentra en todas las matemáticas. Deberíamos conocerlo desde el principio, y sería más claro si utilizáramos siempre el signo de equivalencia para referirnos a él. El $≡$ significa que estamos ante dos formas diferentes de la misma cosa. Las formas y la equivalencia son conceptos enormemente importantes.

Luego está la igualdad condicional, que sería más clara si limitáramos el uso del signo de igualdad a ella. Se trata de una equivalencia sólo para ciertos valores de las variables, si es que los hay.

Answer 2

Creo que puede conseguirlo si conoce las propiedades conmutativas y asociativas de la aritmética:

Conmutativo: $a \cdot b = b \cdot a$ .

Asociativo: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Aplicado a su expresión:

$(8 a) \cdot (4 a) \\\underbrace{=}_{associative} 8 \cdot (a \cdot 4) \cdot a \\\underbrace{=}_{commutative} 8 \cdot (4 \cdot a) \cdot a \\\underbrace{=}_{associative} (8 \cdot 4) \cdot (a \cdot a) = 32 a^2$

Answer 3

Esta es una respuesta tardía, pero creo que ninguna de las otras aborda la verdadera cuestión. Básicamente, su hermano está de acuerdo en que si $a=2$ , entonces $4a \times 8a = 64a$ . Pero cuando la gente escribe " $4a \times 8a = 64a$ " por sí mismo, implícitamente están afirmando " $4a \times 8a = 64a$ por cada $a$ ", donde el tipo de $a$ se deduce del contexto. En este caso se supone que todo objeto es un número (real) si no se especifica. Ya no será así cuando aprenda sobre otros tipos de objetos matemáticos, por lo que sería bueno señalar este tipo de suposiciones implícitas. En otras palabras, se trata de convención en lo que significa más que en algo que pueda convencer a alguien de. En cuanto al formalismo, espero que entienda que las matemáticas consisten en razonar lógicamente y no en adivinar, por lo que con el tiempo apreciaría la manipulación formal utilizando los axiomas de campo.