Hay dos maneras de abordar el tema. La primaria de la forma en que me temo que es bastante feo. Pero si traemos a la caballería usted podría tener que esperar un tiempo antes de completar todos los detalles. Elegí la segunda manera, pero menciona brevemente cómo se puede llevar esto a la tierra.
Primero un poco de motivación. En el plano, una línea debe ser de grado uno en cualquier grado se supone que significa eso. Pero dos líneas a veces se cortan en un punto, dando el recuento $1\times 1 =1$ pero a veces las dos líneas son paralelas no dar una solución común. Cuando los grados son mayores y la dimensión es mayor, perdemos mucha más información, y el número de casos a considerar la posibilidad de convertirse en intratables. Por esta razón, el espacio proyectivo-y no el espacio afín-es el lugar adecuado para la intersección de la teoría. Observar que dos líneas diferentes en el espacio proyectivo siempre se cortan en un único punto-y esto es sólo el comienzo de todas las cosas buenas por venir.
Otra observación es que si queremos contar el número de soluciones, podemos linealmente deformar nuestros objetos sin cambiar nuestra cuenta. De nuevo, tomar la noción de "deformación lineal" como una caja negra, por ahora.
Poner los dos juntos, forman una intersección del anillo (llamado el anillo de Chow) para el espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$, vamos a llamarlo $R$. Los elementos de este anillo son lineales clases de equivalencia de subvariedades de la n-dimensional espacio proyectivo. Además de las obras para que:
$$
[X] + [Y] := [X\copa Y]
$$
Y la multiplicación de las obras, de modo que:
$$
[X]\cdot [Y] := [\tilde X \cap Y]
$$
donde $\tilde X$ es un elemento en el lineal de la clase de equivalencia de a $X$ que es el más adecuado para realizar el cruce. Por ejemplo, dos hyperplanes $H$ $H'$ $\mathbb{P}^n$ son linealmente equivalentes y si son distintos $H\cap H'$ es un codimension 2 espacio lineal. Ahora tiene sentido hablar de 'auto intersección de $H$ con la misma". Lo que queremos decir es $[H]\cdot [H]$$[H' \cap H]$.
Un milagro que sucede aquí, y podemos probar que $R \simeq \mathbb{Z}[h]/(h^{n+1})$ donde $\mathbb{Z}[h]$ es el polinomio anillo de más de $\mathbb{Z}$ variable $h$. Este isomorfismo lleva $[H]$$h$. Más significativamente, una hipersuperficie corta por un grado $d$ polinomio es enviado a $dh$.
Para una subvariedad de dimensión menor este isomorfismo proporciona una forma de definir el grado. Si $X \subset \mathbb{P}^n$ es de codimension $m$$[X] = d_X [H]^m$. Podemos definir el grado de $X$ a esta entero $d_X$.
Una de peatones más forma de definir el grado es cruzan $X$ por tantos general hyperplanes como la dimensión de la $X$ a continuación, a contar los puntos. Al darse cuenta de que la clase de un punto es $[H]^n$, se puede ver que estas dos definiciones están de acuerdo. Pero la peatonal manera de hacer que funcionaría también para sus variedades en el espacio afín.
Ahora que tenemos todo en su lugar, se puede hacer frente a su pregunta. Por el grado de $V$ I significa que el grado de su cierre $\bar V$$\mathbb{P^n}$. Una vez más, esto está de acuerdo con la peatonal definición, porque el general hyperplanes puede ser elegida de manera que no simulatneously se cruzan las partes en el infinito.
A continuación, $\bar V$ es un subconjunto de la intersección $W := \bigcap_i \bar V_i$, como puede haber cosas nuevas, como resultado de la intersección entre el cierre de la $V_i$'s que aparecen en el complemento $\mathbb{P}^n \setminus \mathbb{A}^n$. De hecho, $\bar V$ se formó de la unión de todos los componentes de $W$ que no está completamente en el límite. Si denotamos el resto de los componentes de $W$$U$, entonces:
$$
[W] = [\bar V] + [U]
$$
Ahora podemos calcular. Cada una de las $\bar V_i$ grado $d_i$ hipersuperficie, $[\bar V_i]$ es equivalente a $d_i[H]$. La intersección $W$ por lo tanto es equivalente a $\prod_i d_i [H]$. Por lo tanto el grado de $W$, $d_W$ es igual a $\prod_i d_i$.
La adición de la fórmula anterior se obtiene:
$$
d_W [H]^l = d_{\bar V}[H]^l + d_U[H]^l
$$
por lo tanto
$$
d_V = d_{\bar V} \le d_W = \prod_i d_i \le D^l.
$$
Las propiedades básicas de la medida en la que el autor se está refiriendo es esencialmente la suma y el producto de las reglas descritas anteriormente.
Edit: Si $V$ tiene los componentes $Z_1,\dots,Z_k$$[Z_i] = d_{Z_i} [H]^l$. Recordar cada uno de estos grados son positivos, esto se desprende también de la peatonal enfoque de conteo de puntos. A continuación,$d_V = \sum_i d_{Z_i}$. Debido a que cada término de la suma es un número entero positivo, y debido a nuestra obligado en $d_V$, no podemos tener más de $D^l$ términos en la suma. Ese es el límite en el número de componentes de $[V]$.
