Cómo que "derivan" de la ecuación de onda, sin referencia a las cadenas?

Question

La ecuación de onda en $3$ dimensiones es simplemente:

$$\nabla^2\psi = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi,$$

y la intuición detrás de esto es que en cada punto del espacio con coordenadas $(x,y,z)$ tienen una cierta cantidad oscilating allí. Si se trata de una onda de sonido ¿qué es oscilating son moléculas, si es una onda electromagnética lo que es oscilating son los campos electromagnéticos y así sucesivamente. Lo importante es: $\psi$ representa a la asociación $t\mapsto \psi_t$ donde $\psi_t$ representa una cantidad en cada punto del espacio y esta asociación de $t$ a $\psi_t$ pensamiento de "oscilatory".

Textos básicos de la Física toman la oscilación de puntos en una cadena, se derivan de la segunda ley de Newton que la ecuación de onda en $1$-dimensión es obedeció y luego decir: "debido a que tenemos buenas razones para llamar a la onda de algo que satisface esta ecuación".

El problema es que todavía no estoy convencido. ¿Hay alguna otra manera para "derivar" la ecuación de onda sin referirse al caso particular de las ondas en cuerdas? Que es, a partir del hecho de que queremos que la asociación de $t\to\psi_t$ como he dicho, es allí una manera a la conclusión de que el $\psi$ función debe satisfacer la ecuación?

He tratado de razonar con la armónica oscilator. De modo que en cada punto de $(x_0,y_0,z_0)$ la función de $t\mapsto \psi(t,x_0,y_0,z_0)$ debe satisfacer la armónica oscilator ecuación, que es:

$$\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi + \omega^2 \psi =0,$$

Pero creo que ese no es el camino, ya no puedo ver una manera de poner el laplaciano en allí. Entonces, ¿cómo podemos hacerlo?

Answer 1

Creo que la ecuación de onda puede derivada de la geometría por sí solo, sin el uso de la física. Considere la posibilidad de $f(x-ct)$ y considerar la posibilidad de que pequeños cambios en $x$$t$, es decir,. $\Delta x$, $\Delta t$ (Cada uno de ellos causa un cambio pequeño o traducción de $f(x-ct)$). Tenga en cuenta que $\Delta x$ = $c\Delta t$. Así $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ = $\frac{\Delta f}{c\Delta t}$ = $\frac{1}{c}\frac{\Delta f}{\Delta t}$. Haciendo que de nuevo tenemos $$\frac{\Delta^2 f}{\Delta^2 x} = \left(\frac{1}{c}\right)^2\frac{\Delta^2 f}{\Delta^2 t}$$. Then letting $\Delta$ convertido en muy pequeñas obtenemos

$$ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2} $$

A partir de la geometría, con lo que sólo se necesita para que un cambio en $t$ multiplicado por la velocidad se obtiene el mismo resultado (según lo medido por la segunda derivada) como un cambio en $x$, es decir, una traducción de $f(x-ct)$. Véase, por ejemplo, para una buena discusión: kiskis.physics.ucdavis.edu/landau/phy9hc_03/wave.pdf.

Answer 2

El hecho de que la ecuación de onda es omnipresente en la física no significa que la derivación de la misma es el mismo para cada situación física. Te voy a mostrar cómo derivar la ecuación de onda de la electrodinámica, ya que es muy elegante y el punto de que para algunos lugares para buscar en la derivación de otras situaciones físicas. Para las ondas electromagnéticas en el vacío, comenzar con las ecuaciones de Maxwell $$ \begin{align} \nabla\cdot\vec{E}&=0\qquad\qquad\nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\vec{B}&=0\qquad\qquad\nabla\times\vec{B}=\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}. \end{align} $$ Tomar la curva de la ecuación de Faraday (esquina superior derecha) y aplicar algunos vector de identidades $$ \begin{align} \nabla\times(\nabla\times \vec{E})&=-\frac{1}{c}\nabla\times\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\ \nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^2\vec{E}&=-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B})\\ \nabla^2\vec{E}&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}. \end{align} $$ Usted puede obtener un resultado similar para el campo magnético tomando el rizo de la ley de Ampere. La derivación con una fuente es un poco más complicado. Es generalmente derivan en términos de los vectores, $\vec{A}$, y escalar, $\Phi$ potenciales definidos por $$ \vec{B}=\nabla\times\vec{A}\qquad\qquad\vec{E}=-\nabla\Phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}. $$ Las ecuaciones de Maxwell puede ser escrito en términos de estos potenciales como $$ \begin{align} \nabla^2\Phi+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{A}&=-\frac{\rho}{\epsilon}\\ \nabla^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2} -\nabla\left(\nabla\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t}\right)&= -\mu_0\vec{J}, \end{align} $$ donde $\rho$ es la densidad de carga y $\vec{J}$ es la densidad de corriente, es decir, las fuentes. Hay cierta libertad en la definición de estos potenciales conocido como medidor de la libertad. Medidor de la libertad es sagrada para theroetical phycics, pero no voy a entrar en detalles aquí. Una opción de la libertad es la exigencia de que los potenciales de satisfacer lo que se conoce como la condición de Lorenz $$ \nabla\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t}=0. $$ Conectando en las ecuaciones anteriores indican que tanto los potenciales de satisfacer el origen ecuaciones de onda $$ \begin{align} \nabla^2\Phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}&=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}&= -\mu_0\vec{J}. \end{align} $$ Para más detalles sobre la ecuación de onda electromagnética tiene una mirada en el capítulo 6 de Juan David Jackson texto clásico "Electrodinámica Clásica".

Para una derivación de la ecuación de onda en una membrana estirada, como un tambor de la cabeza, echar un vistazo a estas notas. Para una derivación de la ecuación de onda acústica, tener una mirada en el artículo de la Wikipedia.

Answer 3

Creo que se puede hacer un áspero heurística como este. Lo que llamamos el movimiento de las olas implica una cierta amplitud, y la onda se propaga cuando la amplitud varía en el espacio. El operador Laplaciano tiene la media del valor de la propiedad que al $\nabla^2 f = 0$ en una región $U$ y $x \in U$, $$f(x) = \frac{1}{V}\int_B f(t)\, dV$$ donde $B$ es algo de bola centrada en torno a $x$ y el contenido en $U$, e $V$ es el volumen de $B$. Así, podemos decir que el Laplaciano de las medidas de cómo los diferentes $f(x)$ es de el valor de la media de $f$ cerca de $x$. Podemos tomar esto como una razón para creer que el espacio de la parte de la ecuación de onda debe ser $\nabla^2 f$.

¿Qué debe hacer el parte del tiempo? Creo que es bastante claro que necesitamos tiempo dos de los derivados. Para considerar el ejemplo concreto de una onda mecánica en el que el movimiento es en última instancia, descrito por las leyes de Newton, la cual tiene dos derivados. También se esperaría que el tiempo de evolución de la onda dependerá no solo de su forma en $t =0$, pero también en el tiempo derivativo en $t = 0$. Así llegamos a la ola supongo que las ondas son descritos por $$\frac{\partial^2}{\partial t^2}f - \frac{1}{c^2} \nabla^2 f = 0$$ donde la cantidad de $c$ tiene dimensiones de velocidad, así como para hacer que la ecuación dimensionalmente correcta.