Problema de Cauchy para la Ecuación del Calor con el Titular de Datos Continua

Question

Este ejercicio viene de un pasado de la PDE qual problema. Suponga $u(x,t)$ soluciona $$ \left\{\begin{array}{rl} u_{t}-\Delta u=0&\text{in}\mathbb{R}^{n}\times(0,\infty)\\ u(x,0)=g(x)&\text{on}\mathbb{R}^{n}\times\{t=0\}\end{array}\right. $$ y $g$ es Titular continuo con la continuidad del modo de $0<\delta\leq1,$ que es $$|g(x)-g(y)|\leq|x-y|^{\delta}$$ para cada $(x,y)\in\mathbb{R}^{n}$. Demostrar la estimación $$|u_{t}|+|u_{x_{i}x_{j}}|\leq C_{n}t^{\frac{\delta}{2}-1}.$$

Tengo unas cuantas páginas de cero trabajo en tratar de demostrar que esta estimación, pero no he sido capaz de llegar a una situación en la que incluso es obvio cómo explotar el Titular de la continuidad de la $g$. Debido a la traducción de la invariancia en el espacio, podemos demostrar que para el caso de $x=0$, para que al menos simplifica algunas cosas. Pero, de nuevo, hay una observación clave que, aparentemente, ha eludido a mí, y una sugerencia se agradece!

Answer 1

No creo que esto es cierto, tal y como está. El problema de Cauchy tiene soluciones no triviales $u$$u(x,0) = 0$. Si esta afirmación es cierta, implicaría que $u_t$ es limitada y, en particular, que $u(\cdot, t)$ está delimitado para cada una de las $t$. Pero esto no es cierto para tal $u$; de hecho, Tychonoff la unicidad teorema dice que crecer más rápido de lo $e^{c|x|^2}$.