¿Qué hace el producto tensor en la definición de la Combinatoria Floer nudo de homología?

Question

Estoy trabajando en un proyecto que consiste en resumir el artículo de Una combinatoria descripción de nudo Floer homología (http://arxiv.org/abs/math/0607691) y haciendo algunos ejemplos de cálculos con los teoremas. Voy a tratar de explicar la información de fondo para mi pregunta pero no estoy seguro de si tiene sentido sin necesidad de estar familiarizado con el artículo.

He calculado el $\mathbb{Z}_2$-homología de la bigraded complejo de cadena $(C(\Gamma),\partial)$ asociado con la red diagrama de $\Gamma$ lo que representa un nudo de $K$. Ahora que he a $H_*(C(\Gamma),\partial)$ quiero recuperar el Floer homología de $K$, $HFK(K)$.

Tanto en $H_*(C(\Gamma),\partial)$ $HFK(K)$ son bigraded directa sumas de $\mathbb{Z}_2$'s: cada generador de cada grupo se le asigna un Alexander clasificación y un Maslov la clasificación, y todos ellos generan un $\mathbb{Z}_2$ en su grupo. El bigradings están dadas por

$HFK(K) = \bigoplus_{m,s} HFK_m(K,s)$ y

$H_*(C(\Gamma),\partial) = \bigoplus_{i,j}H_*(C_{i,j}(\Gamma),\partial)$,

donde $C_{i,j}(\Gamma)$ es el subgrupo de $C(\Gamma)$ generado por los generadores con maslov grado $i$ y Alexander grado $j$ (sabemos que $\partial$ conserva Alexander grado y reduce Maslov grado por uno, y que $\partial^2 = 0$, por lo que el bigrading da una serie de complejos de la cadena, uno para cada Alexander grado, donde la "dimensiones" son los Maslov la clasificación en la que Alexander grado).

Ahora que tengo la homología de $C(\Gamma)$ en cada bigrading, quiero recuperar a$HFK(K)$, usando el teorema 1.1 (página 5) del artículo. Se establece que

$H_*(C(\Gamma),\partial) = HFK(K) \otimes V^{\otimes (n-1)}$

donde $V$ es el bigraded grupo que consiste de un $\mathbb{Z}_2$ a bigrading $(-1,-1)$ e una $\mathbb{Z}_2$ $(0,0)$ (en realidad es un complejo de cadena con trivial límite de operador). Supongo que el $\otimes$ denota un producto tensor, y el superíndice significa que el producto tensor de $V$ $(n-1)$ veces.

$n$ es la dimensión de la cuadrícula que se utiliza; aquí $n=5$. No estoy muy familiarizado con la estructura de un tensor de producto en general. Estoy en lo cierto al suponer que en este caso el producto tensor actúa de la misma como un producto directo, por lo que me acaba de quitar $(n-1)$ copias de $\mathbb{Z}_2$ desde el bigradings $(-1,-1)$ $(0,0)$ $H_*(C(\Gamma),\partial)$ a fin de obtener la estructura de $HFK(K)$?

Answer 1

Desde $V$ es bidimensional $\mathbb{Z}_2$-espacio vectorial, tensoring $\widehat{HFK}(K)$ $V$ duplica la dimensión de $\widehat{HFK}(K)$. Uno puede ver a $\widehat{HFK}(K)\otimes V$ como la suma directa de dos copias de $\widehat{HFK}(K)$, donde se ha sumando el original de la clasificación de $\widehat{HFK}(K)$ y el de las otras sumando a la Maslov y Alexander clasificación desplazado hacia abajo por uno.

Ya que estamos trabajando sobre el campo $\mathbb{Z}_2$, el espacio vectorial $\widehat{HFK}(K)$ está determinado por su polinomio de Poincaré $P(u,t)$, que se define como sigue. Deje $\widehat{HFK}_m(K,s)$ ser el sumando de a $\widehat{HFK}(K)$ en Maslov calificación $m$ y Alexander calificación $s$. A continuación, la de Poincaré polinomio se define como $$P(u,t) = \sum_{(m,s)\in\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}} \dim \widehat{HFK}_m(K,s)\cdot u^m t^s.$$ La de Poincaré polinomio de $V$$1 + u^{-1}t^{-1}$, y tensoring $\widehat{HFK}(K)$ $V$ corresponde a multiplicar el polinomio de Poincaré de $\widehat{HFK}(K)$$(1 + u^{-1}t^{-1})$. Tensoring con $V^{\otimes(n-1)}$ corresponde a multiplicar el polinomio de Poincaré por $(1 + u^{-1}t^{-1})^{n-1}$.

Vamos a trabajar a través de un ejemplo. Supongamos que $\Gamma$ es la rejilla diagrama de la (zurdo) trébol $K$ que aparece en la página 2 de las páginas de papel. El polinomio de Poincaré para $\widehat{HFK}(K)$ es $$P(u,t) = t^{-1} + u + u^2t. $$ La homología $H_*(C(\Gamma),\partial)$ es isomorfo a $\widehat{HFK}(K)\otimes V^{\otimes 4}$. La de Poincaré polinomio de $H_*(C(\Gamma),\partial)$ es \begin{align*}&(t^{-1} + u + u^2t)(1+u^{-1}t{-1})^4\\ =& u^{-4}t^{-5}+5u^{-3}t^{-4}+11u^{-2}t^{-3}+14u^{-1}t^{-2}+11t^{-1}+5u + 11u^2t \end{align*}

Por supuesto, usted puede hacer todo este proceso en sentido inverso. Dado el polinomio de Poincaré de $H_*(C(\Gamma),\partial)$, simplemente factor $(1+u^{-1}t^{-1})^{n-1}$ para obtener el polinomio de Poincaré de $\widehat{HFK}(K)$.