Contra-ejemplo: Si $J$ es primo, a continuación, $f^{-1} (J) $ es primo. $f$ no necesita ser unital.

Question

Deje $R$ $S$ ser conmutativo con 1 y $ $ $ f:R\rightarrow S$ es un anillo homomorphism que no necesita ser surjective o unital decir $f(1_R)=1_S$

Yo sé que para surjective o unital anillo homomorphisms la declaración - "Si $J$ es primo, a continuación, $f^{-1} (J)$ es primo" - es cierto.

Sin embargo, si f no necesita ser surjective o unital, ¿hay algún contador de ejemplos de la declaración anterior?

Answer 1

Sí: el cero mapa sería entonces una de morfismos de anillos, y la preimagen de cada primer ideal es que, a continuación,$R$, que no es un alojamiento ideal (por definición)

Answer 2

Para dar menos un ejemplo trivial: Tome decir, la integral de dominios $R_1, R_2$. A continuación, la inclusión $i : R_1 \to R_1 \times R_2$ es una de morfismos (que no envíe $1_{R_1}$$1_{R_1 \times R_2} = (1_{R_1}, 1_{R_2})$). Por otra parte, $R_1 \times \{0\}$ es un alojamiento ideal cuya preimagen es $R_1$ que no es primo.

Edit: Este no es el caso si el mapa no es unital. Deje $\psi : R \to R'$. A continuación, $\psi(1) = e$ es idempotente, es decir,$e^2 = e$. A continuación, también se $1-e$ es idempotente y tenemos una descomposición $R' = eR \oplus (1-e)R = R_1 \oplus R_2$, que no es trivial si $e \neq 0_{R'},1_{R'}$. Es un hecho bien conocido, que el primer ideales en $R_1 \oplus R_2$ son de la forma $P_1 \oplus R_2$ o $R_1 \oplus P_2$ para un primer ideal $P_i \subseteq R_i$. Por lo tanto, tomar un alojamiento ideal $P \subseteq R_2$, $R_1 \oplus P$ es el primer en $R' = R_1 \oplus R_2$ y su preimagen en$\psi$$R$.