$\mathcal{L}(V,W)$ es infinito dimensional al $V$ es finito dimensionales y $W$ es de infinitas dimensiones.

Question

En un post anterior la Prueba de $\mathcal{L}(V,W)$ siendo infinito dimensional he presentado una prueba de la proposición de que

Teorema. Si $V$ es finito dimensionales con $\dim V>0$ $W$ es infinito dimensiones, a continuación, el espacio vectorial $\mathcal{L}(V,W)$ es infinito dimensiones.

Sin embargo, la prueba presentada, aunque correcto era ridículamente largo. Aquí presento otra prueba de que hace uso de la siguiente teorema. Me gustaría saber si esta nueva prueba es correcta?

Teorema ($2.A.9)$ Un espacio vectorial $V$ es infinito dimensional si y sólo si existe una secuencia de vectores $v_1,v_2,v_3,v_4,....$ tal que para todos los $n\in\mathbf{Z^+}$ el subsequence $v_1,v_2,....,v_n$ es linealmente independiente.

Prueba. Desde $W$ es infinito dimensional podemos invocar una secuencia de vectores $\psi:\mathbf{Z^+}\to W$ tal forall $n\in\mathbf{Z^+}$ el subsequence $\psi(1),\psi(2),...,\psi(n)$ es linealmente independiente.

Deje $v_1,v_2,...,v_m$ ser una base para $V$ y considerar la secuencia de $\phi:\mathbf{Z^+}\to\mathcal{L}(V,W)$ define de la siguiente manera $$\phi(n) = T(c_1v_1+c_2v_2+\cdot\cdot\cdot+c_mv_m) = c_1\psi(1)+c_2\psi(2)+\cdot\cdot\cdot+c_m\psi(m+n)\tag{1}$$

Vamos a demostrar por la vía de las Matemáticas y de la Inducción que con la definición anterior para todos los $n\in\mathbf{Z^+}$ la lista de $\phi(1),\phi(2),...,\phi(n)$ es linealmente independiente.

Evidentemente $\phi(1)$ sobre sus propios linealmente independientes. Supongamos ahora que para algunos $k\in\mathbf{Z^+}$ la lista de $\phi(1),\phi(2),...,\phi(k)$ es linealmente independientes, pero la lista de $\phi(1),\phi(2),...,\phi(k),\phi(k+1)$ no lo es.

Luego de algunos $j\in\{1,2,3,...,k+1\}$ es el caso de que $\phi(j)\in\operatorname{span}(\phi(1),\phi(2),...,\phi(j-1))$ pero esto $j\not\in\{1,2,....,k\}$ desde $\phi(1),\phi(2),...,\phi(k)$ es linealmente independiente, por consiguiente,$j = k+1$, lo que implica que para algunos $x_1,x_2,...,x_k\in\mathbf{F}$ $$\phi(k+1)= x_1\phi(1)+x_2\phi(2)+\cdot\cdot\cdot+x_k\phi(k)$$ then applying both sides to the vector $v_m$ tenemos $$\phi(k+1)v_m = x_1\phi(1)v_m+x_2\phi(2)v_m+\cdot\cdot\cdot+x_k\phi(k)v_m\tag{2}$$ $$\psi(m+k+1) = x_1\psi(m+1)+x_2\psi(m+2)+\cdot\cdot\cdot+x_m\psi(m+k)\tag{3}$$

pero $(3)$ implica que el $\psi(m+k+1)\in\operatorname{span}(\psi(1),\psi(2),...,\psi(m+k))$ contradiciendo el hecho de que para todas $n\in\mathbf{Z^+}$, $\psi(1),\psi(2),...,\psi(n)$ es linealmente independiente.

$\blacksquare$

Answer 1

No he leído usted la prueba, sino para mostrar que $L(V, W)$ tiene dimensión infinita, se puede argumentar que los mapas de la forma $f_{i,j}: V \to W$ s.t

$$f_{i,j}(v_k) = \begin{cases} w_j & k = i\\ 0 & k\not = i\\ \end{casos},$$ - donde $\{v_i\}$ $\{w_j\}$ constituye una base para $V$$W$, respectivamente - genera un subespacio de $L(V, W)$.Por lo tanto, ya que hay infinitamente muchos de estos mapas, y el espacio generado por este tipo de mapas es un subespacio de $L(V,W)$, debemos tener $\dim L(V, W)$ tiene que ser infinito.

Answer 2

Yo lo haría de manera diferente.

Teorema. Un espacio vectorial $V$ es finito dimensionales si y sólo si ningún subconjunto infinito de $V$ es linealmente independiente.

Prueba. ($\Rightarrow$) No subconjunto de tener más de $\dim V$ elementos es linealmente independiente.

($\Leftarrow$) Supongamos que $V$ no es finito dimensionales. En particular, $V\ne\{0\}$, de modo que podemos elegir $v_1\in V$, $v_1\ne0$. Por supuesto, $\langle v_1\rangle\ne V$, por lo que podemos elegir el $v_2\in V\setminus\langle v_1\rangle$ $\{v_1,v_2\}$ es linealmente independiente. Esto inicia una recursividad: supongamos que hemos elegido $\{v_1,\dots,v_k\}$ linealmente independientes. Puesto que, por hipótesis, $\langle v_1,\dots,v_k\rangle\ne V$, se puede elegir una más de vectores $v_{k+1}\in V\setminus\langle v_1,\dots,v_k\rangle$ $\{v_1,\dots,v_k,v_{k+1}\}$ es de nuevo linealmente independientes. Este procedimiento no se detiene, porque no podemos encontrar un número finito de sistema generador de $V$. QED

Tenga en cuenta que la prueba proporciona, para un no finita de espacio tridimensional, un infinito subconjunto linealmente independiente, que parecen dar por sentado.

Ahora, para tu caso, ya que los $W$ no es finito dimensional, el procedimiento anterior proporciona una infinita subconjunto linealmente independiente de $W$, decir $\{w_n:n\ge1\}$. Elige una base $\{v_1,\dots,v_m\}$ $V$ y definen $f_n\colon V\to W$ por $$ f_n(v_1)=w_n, \qquad f_n(v_k)=0\ (2\le k\le m) $$ No debería ser difícil terminar demostrando que $\{f_n:n\ge1\}$ es linealmente independiente en $\mathcal{L}(V,W)$.