Contorno de cálculo integral

Question

Yo estaba realmente esperando que alguien me podría ayudar en el cálculo de este contorno integral (Schlaefli): $$ B_{n}= \frac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \frac{1 }{z^{n+1}} \frac{z}{e^{ z} - 1}\,dz$$

Mi libro de texto (Arfken) pasa rápidamente sobre algunos detalles y más tarde en las solicitudes de encontrar residuos: \begin{align*} \mathrm{Res}_{z =\pm 2 \pi n i} \left ( \frac{1 }{z^{n}} \frac{1}{e^{ z} - 1}\ \right ) &= ? \end{align*}

y me acaba de perderse. Además, se utiliza este contorno de abajo(que no entiendo por qué se utiliza hacia la derecha en lugar de hacia la izquierda, y por qué puentes a lo largo del eje real positivo):

Si pudiera obtener una explicación sobre cómo encontrar el indicado residuos, como el integrando se comporta asintóticamente como $$\frac{1 }{\left | z \right |^{n}}$$ y/o una explicación sobre el contorno que será de gran ayuda para mí. Gracias de antemano para todos/cualquier ayuda !

Answer 1

La integral a lo largo del gran círculo se desvanece como radius $\to \infty$ ($1/(e^{z}-1)$ es uniformemente acotada en que el contorno), y que de la rosa/verde segmento cancela el uno al otro. El círculo azul, como su radio tiende a $0$, es el mismo de residuos en el origen, por tanto, $$B_{n}= \frac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \frac{1 }{z^{n+1}} \frac{z}{e^{ z} - 1}\,dz$$ El círculo grande es el elegido para ser de las agujas del reloj para hacer el círculo azul a la izquierda.

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Creo que el escritor tiene la intención de derivar otro resultado utilizando el mismo contorno: $$\mathrm{Res}_{z = 2 \pi m i} \left ( \frac{1 }{z^{n}} \frac{1}{e^{ z} - 1}\ \right ) = \lim_{z\to 2\pi m i} \left(\frac{1}{z^n} \frac{z-2\pi m i}{e^z - 1} \right)=\frac{1}{(2\pi m i)^n}\lim_{z\to 2\pi m i} \left(\frac{z-2\pi m i}{e^z - 1} \right)$$ Donde hemos utilizado el hecho de que $2\pi m i$ es un simple polo, produciendo el residuo es $1/(2\pi m i)^n$. Por lo tanto, $${B_n} = -n!\sum\limits_{m \in \mathbb{Z} - \{ 0\} } {\frac{1}{{{{(2\pi im)}^n}}}} $$ Al $n$ es incluso, se obtiene el famoso: $${B_{2n}} = -\frac{{2(2n)!}}{{{{(2\pi i)}^{2n}}}}\zeta (2n)$$ Al $n$ es impar, obtenemos $B_{2n+1} = 0$ al $n\geq 1$.