¿Es posible resolver explícitamente la ecuación de Helmholtz no homogénea en un rectángulo?

Question

Consideremos la siguiente ecuación de Helmholtz en un rectángulo $\Omega$ y condiciones de contorno de Neumann: $$ \begin{align} \Delta u + k^2 u = \delta_y, \quad \quad x \in \Omega, \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0, \quad \quad x \in \partial \Omega. \end{align} $$ Aquí $\delta_y$ es una fuente puntual emitida desde el punto $y\in \Omega$ . ¿Se puede encontrar una solución explícita para esta ecuación?

Answer 1

Si conoce una solución en espacio libre de $$ \Delta v+k^2v=\delta_y $$ entonces se puede resolver para $w$ tal que $$ \Delta w+k^2w=0 \\ \frac{\partial w}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n} $$ y la solución que desea será $v-w$ .