Stokes Teorema de producto cruzado con la línea de elemento

Question

Deje $\partial \mathcal{S}$ ser una simple curva cerrada y $\mathcal{S}$ la región encerrada por ella, con $\mathcal{S} \subset \mathbf{R}^3$. Deje $\vec{F}$ ser un campo de vectores en $\mathbf{R}^3$.

Si $\mathcal{S}$ está contenida en el $x$-$y$ plano y $\vec{F}$ sólo ha $x$ $y$ componentes, uno puede comprobar que \begin{equation} \int_{\partial \mathcal{S}} \vec{F} \times \mathrm{d} \vec{l} = \hat{n}\int_\mathcal{S} \nabla \cdot \vec{F} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, , \end{equation}

donde $\hat{n}$ está dado por el de la derecha el tornillo de la regla en relación con el sentido de la integral de línea alrededor de $\partial \mathcal{S}$. Esto es sólo otra aplicación de Stokes Teorema.

He tratado de encontrar el adecuado a la generalización de $\mathcal{S}$ $\vec{F}$ no se limita a vivir en un plano, con $\partial \mathcal{S}$ sigue una curva cerrada simple. Cuando trato de trabajar el resultado utilizando el formulario estándar de Stokes y teorema de vector de identidades puedo conseguir \begin{equation} \int_{\partial \mathcal{S}} \vec{F} \times \mathrm{d} \vec{l} = \int_\mathcal{S}\left[ ( \nabla \cdot \vec{F} ) \hat{n}- \left( \nabla F_i \right) n_i \right]\, \mathrm{d}s \, , \end{equation} con implícita suma más de $i$. Esto parece ser consistente con el 2D caso y creo que funciona, pero yo no podía encontrar en otros lugares y quería asegurarse de que si esto es lo correcto. Yo estaría muy agradecido si usted podría hágamelo saber si usted está de acuerdo.

Answer 1

Probablemente su forma de derivar es la misma que la de abajo. Acabo de encontrar conveniente utilizar el índice de forma.

Stoke Teorema: $\oint_{\partial S} E_idl_i = \int_S \epsilon_{ijk}\partial_jE_k dS_i $ arbitrarias de la superficie de $S$ con el mismo límite.

Tenemos \begin{align} \left(\oint_{\partial S} \vec{F}\times d\vec{l}\right)_i &= \oint_{\partial S} \epsilon_{ijk}F_j dl_k \\ &= \int_{ S} \epsilon_{lmn} \partial_m(\epsilon_{ijn}F_j) dS_l \\ &= \int_{ S} (\delta_{li}\delta_{mj}-\delta_{lj}\delta_{mi})\partial_mF_j dS_l \\ &=\int_{ S} (\partial_kF_k dS_i - \partial_i F_l dS_l), \end{align} que es exactamente su expresión.