Yo sé que en un $\sigma$-álgebra, innumerables sindicatos no pueden existir. Sin embargo, supongamos que tengo un sistema dirigido a $\{A_i,i\in I\}$ donde para cada $i\in I$, $A_i\in\mathcal A$ (el $\sigma$-álgebra) con la propiedad de que para cualquier $i,j\in I$, $A_i\subseteq A_j$ o $A_j\subseteq A_i$. Entonces, creo, $\cup_{i\in I}A_i\in\mathcal A$ pero estoy teniendo dificultad en la escritura de una prueba. Notar aquí que el $I$ pueden ser innumerables.
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bof
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Aquí es muy general contraejemplo. Supongamos $\mathcal A$ es cualquier subcolección de el juego de poder $\mathcal P(E)$ y supongamos que todos los subconjuntos finitos de $E$ pertenecen a $\mathcal A.$ Elija un elemento $X\in\mathcal P(E)\setminus\mathcal A$ de cardinalidad mínima. Por el bien de ordenar el conjunto infinito $X$ se puede escribir como la unión de una cadena de subgrupos de menor cardinalidad. Por lo tanto $X$ es la unión de una cadena de elementos de $\mathcal A,$ pero $X\notin\mathcal A.$
S.Koch
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Creo que tengo una idea contraejemplo (no completa). Definir $x\sim y :\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Q}$, ver el $A:=\mathbb{R}/\sim$ y deje $X$ ser un conjunto representativo de $A$ en el Intervalo de $[0,1]$. Nota: se puede optar $X$ de tal manera que $|X\cap[0,1-\frac{1}{n}]|\leq n$.$^1$ Para $x\in\mathbb{R}$ deje $[x]$ denotar la clase de $x$$A$, y para $a\in A$ deje $\langle a\rangle$ ser el representante de $a$$X$. Set$S_x = \{\langle[x]\rangle\}$$x\in[0,1]$. Set $$A_x=\left(\bigcup_{0\leq y\leq x} S_y \right)\cap [0,x]$$ para $x\in [0,1]$. Ahora el $A_x$ son todos finitos para $0\leq x < 1$ y por lo tanto Borel medible, tenemos $A_x \subseteq A_y$ $x\leq y$ y $$X\setminus S_1 \subseteq \bigcup_{x\in[0,1)} A_x \subseteq X$$ (No estoy seguro de si $\langle [0]\rangle=\langle[1]\rangle$ está contenido en la unión), por lo que el incontable de la unión de la $A_x$ no es Borel medible.
Desde el Borel-medida es una $\sigma$-álgebra sobre los números reales, esto podría responder a su pregunta de forma negativa.
$^1$ Supongo que esto es posible usando el axioma de elección, pero no estoy cien por ciento seguro.
EDIT: Ah, no, $^1$ no puede ser. Esto implicaría que el término medio de $$X\setminus S_1 \subseteq \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left(X\cap[0,1-\tfrac{1}{n}]\right) \subseteq X$$ is countable, which can't be. But it is interesting that given a representive set $X$ there is always some $n\in\mathbb{N}$ such that $A_\frac{1}{n}$ is finite but $A_\frac{1}{n+1}$ es incontable.
