¿Cómo podemos hallar la ecuación de la curva que se muestra en la figura?

Question

Arriba están las ilustraciones, abajo en el recuadro rojo está la PREGUNTA ' $a$ y $b$ son las longitudes de las líneas, como se muestra en la figura. Las dos líneas se dividen en ' $n$ ' partes iguales y las líneas se trazan según la ilustración. La curva formada por la intersección de esas líneas es la curva con trazo azul. $\theta = \text{Angle between the two lines}$

Answer 1

Dado $O(0,0)$ , $A(a\cos\theta,a\sin\theta)$ , $B(b,0)$ considerar los puntos $P_t$ , $P_{t+\Delta t}$ en $OA$ , $Q_t$ , $Q_{t+\Delta t}$ en $OB$ :

\begin{align} P_t&=A\,(1-t) ,\\ Q_t&=B\,(t+\Delta t) ,\\ P_{t+\Delta t}&=A\,(1-(t+\Delta t)) ,\\ Q_{t+\Delta t}&=B(t+2\Delta t) . \end{align}

Líneas $P_tQ_t$ , $P_{t+\Delta t}Q_{t+\Delta t}$ se cruzan en un punto $z=(x(t),y(t))$ , \begin{align} x(t)&= (\Delta t+1)^{-1}(2b \Delta t^2 +(a\cos\theta (t-1)+3 t b)\Delta t \\ &+a\cos\theta-2ta\cos\theta+(b+a\cos\theta)t^2) ,\\ y(t)&=(\Delta t+1)^{-1} (t-1+\Delta t)(t-1)a\sin\theta . \end{align}

\begin{align} \lim_{\Delta t \to 0}x(t) &= {a\cos\theta-2t a\cos\theta+(b+a\cos\theta)t^2} \\ &= a\cos\theta\cdot(1-t)^2+0\cdot2(1-t)t+b\cdot t^2 ,\\ \lim_{\Delta t \to 0}y(t) &= {(t-1)^2 a\sin\theta} \\ &= a\sin\theta\cdot(t-1)^2+0\cdot2(1-t)t+0\cdot t^2 ,\\ \\ (x(t),\,y(t))&=A\cdot(1-t)^2+2 O\cdot(1-t)t+B\cdot t^2 , \end{align}

que es un conocido segmento de Bézier cuadrático con puntos de control $A,O,B$ .

Answer 2

He aquí una solución para $a=b=1$ y $\theta=\pi/2$ . El resultado se escala trivialmente para cualquier $a$ y $b$ pero generalizar para otros ángulos puede ser más difícil.

En primer lugar $d$ sea nuestro tamaño de paso, de modo que

$$d=\frac{1}{n}$$

Entonces según las reglas anteriores podemos ver que:

$$x=kd \\ y=1+d-kd$$

Dónde $k=0,1,\dots,n$ .

Busquemos la ecuación de la $k$ que forma nuestra curva. A partir de dos puntos conocidos $(kd,0)$ y $(0,1+d-kd)$ obtenemos la ecuación

$$y_k=1+d-kd- \left( \frac{1+d}{kd}-1 \right) x$$

Pero las rectas se aproximan a la curva sólo entre las intersecciones con las rectas adyacentes:

$$x_{k1}: \qquad y_{k-1}(x)=y_k(x) \\ x_{k2}: \qquad y_{k+1}(x)=y_k(x)$$

Al resolver las ecuaciones, tomamos la media aritmética como punto que pertenece tanto a la recta como a la curva:

$$x_k=\frac{x_{k1}+x_{k2}}{2}=\frac{k^2 d^2}{1+d}$$

Así, la ecuación para nuestra curva en cada punto se describe por:

$$y_k(x_k)=1+d-kd- \left( \frac{1+d}{kd}-1 \right) \frac{k^2 d^2}{1+d}$$

O, tras simplificaciones:

$$y_k(x_k)=1+d-2kd+\frac{k^2 d^2}{1+d}$$

O:

$$y_k \left( \frac{k^2 d^2}{1+d} \right)=1+d-2kd+\frac{k^2 d^2}{1+d}$$

Introduzcamos una nueva variable:

$$z=\frac{k^2 d^2}{1+d}$$

Entonces tenemos:

$$y \left( z \right)=1+d-2 \sqrt{(1+d)z}+z$$

Ahora recordamos que se supone que nuestro tamaño de paso es infinitamente pequeño, así que tomamos el límite:

$$\lim_{d \to 0} y(z)=1-2 \sqrt{z}+z$$

Simplificando y renombrando nuestra variable tenemos:

$$y(x)=(1- \sqrt{x})^2$$

Se supone que nuestra curva es simétrica alrededor de $y=x$ lo que es cierto en este caso.

He aquí una ilustración para $d=1/10$ en comparación con $y(x)$ :