La cuestión es encontrar el valor mínimo de la integral $$ \begin {aligned}\mathcal {I} [y] &=\int_{- \infty}^{\infty} \dfrac{1}{2} y'^2 + 1 - \cos y \; \mathrm d x \\ \quad y(-\infty)&=0, \quad y(\infty)= 2 \pi \end {aligned} $$ I have tried applying Euler-Lagrange explicitly to obtain the equation $ y" = \pecado y $ but this doesn't seem to be much help. Since the integral has no explicit $x$-dependence, I applied the Beltrami identity to show that $$- \dfrac{1}{2} y'^2 + 1 - \cos y = C$$ for some real constant. Since the boundary conditions are finite at infinity, it follows that $y'$ goes to zero at infinity (assuming $s$ is "nice enough"), so plugging in our boundary conditions shows that $ C = 0 $. Going back to our original form, we find that most things cancel out and we are left with $$ \int_{- \infty}^{\infty} y'^2 \; \mathrm d x $$ and I'm not sure where to go from here. I've tried using integration by parts on this term to give $$ \int_{- \infty}^{\infty}y'^2 \; \mathrm d x = \bigg[ yy' \bigg]^{\infty}_{-\infty} - \int_{- \infty}^{\infty} yy'' \; \mathrm d x $$ y creo que el primer término se retira debido a las condiciones de frontera, pero que deja el segundo término que no estoy seguro de cómo tratar con.
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Considerar la funcional $I$ en el espacio de $C^1$funciones $y$ satisfacción $y(-\infty)=0$ $y(+\infty) = 2\pi$ definido por
$$ I(y) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{y'(x)^2}{2} + 1 - \cos y(x) \right) \, dx. $$
Por el Cauchy-Schwarz desigualdad, tenemos
\begin{align*} I(y) &\geq \int_{-\infty}^{\infty} 2\sqrt{ \frac{y'(x)^2}{2} (1 - \cos y(x)) } \, dx \\ &\geq \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{2(1-\cos y(x))} \cdot y'(x) \, dx \\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos y)} \, dy = 8. \end{align*}
Ahora vamos a examinar si existe una función de satisfacer $I(y) = 8$. Si esto se mantiene, entonces el por encima de las desigualdades están saturados y por lo tanto los rendimientos de las igualdades. Por la igualdad de condición de Cauchy-Schwarz desigualdad, esto implica que
$$ \frac{y'(x)^2}{2} = 1-\cos y(x) \qquad \text{and} \qquad y'(x) \geq 0, $$
que es equivalente a
$$ y'(x) = \sqrt{2(1- \cos y(x))}. $$
Esta ecuación se puede resolver por separación de variables técnica para producir
$$ y(x) = 4\arctan(e^x). $$
Con esta función podemos obtener
$$ I(y) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{4}{\cosh^2 x} \, dx = 8. $$
Después de mi último paso, he resuelto para $ y' $ el uso de la Beltrami identidad y, a continuación, reescribir la integral como $$ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} y'^2 \; \mathrm d x &= \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{2 ( 1 - \cos y )} \; \dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \; \mathrm d x \\ \\ &= \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2 (1 - \cos y )} \; \mathrm d y \\ \\ &= \int_{0}^{2 \pi} \sqrt {2} \sqrt {2 \sin ^2 \frac {y}{2} } \; \mathrm d y \\ \\&= \int_0^{2 \pi} 2 \sin \frac{y}{2} \; \mathrm d y \\ \\ &= 8 \end{align}$$ eliminando la necesidad explícita de encontrar el minimizer.
