Para qué valores de a $(a,b,c)$ $M$ un colector?

Question

Deje $M$ denota el subconjunto de $\mathbb{R}^3$ definido por las ecuaciones:

$x^2 +y^2 + z^2 = 1$

$ax^2 + by^2 + cz^2 = 0$

Donde $a, b,$ $c$ son constantes. Para qué valores de a $(a,b,c)$ $M$ un colector? Es $M$ compact?

Aquí está mi intento de solución:

Definir $(u,v)$ = $F(x,y,z)$ = $(x^2 +y^2 + z^2 - 1, ax^2 + by^2 + cz^2)$

El Jacobiano es calculado como:

$\begin{bmatrix}2x & 2y & 2z\\2ax & 2by & 2cz\end{bmatrix}$

La solución para que cuando el $2 \times 2$ menor matrices son iguales a cero, se obtiene:

$4bxy - 4axy = 0$

$4cxz - 4axz = 0$

$4cyz - 4byz = 0$

Desde el punto de $(x,y,z) = (0,0,0)$ no está en el conjunto de solución a la original dado ecuaciones, podemos dividir por $xy, xz, yz$ respectivamente.

Esto se traduce en $a = b =c$.

Así que mi respuesta es, siempre que $a \neq b \neq c$, $M$ es un colector.

Es este razonamiento correcto? Y ¿cómo puedo demostrar que $M$ es compacto? Obviamente, la unidad de la esfera es compacto, pero ¿qué es la intersección con $ax^2 + by^2 + cz^2 = 0$ ?

Puede alguien por favor ayuda? Gracias por su amabilidad.

Answer 1

Ya no sé cómo hacer el "colector" de la parte, sin embargo, aquí es cómo responder a la "pacto" de la parte. Deje $A$ ser la unidad de la esfera, $B=\{(x,y,z): ax^2+by^2 + cz^2=0\}.$ $M= A\cap B.$ $B=f^{-1}(\{0\}),$ donde $f(x,y,z) = ax^2+by^2 + cz^2.$ Desde $f:\mathbb R^3\to \mathbb R$ es continua, $B$ es la inversa de la imagen del conjunto cerrado $\{0\},$ por lo tanto es cerrado. Por lo tanto $M$ es la intersección del conjunto compacto $A$ con un conjunto cerrado. En algún lugar se enteró de que tal cosa es compacto. Por lo $M,$ si es o no es un colector, es compacto.

Answer 2

En este caso parece más fácil hacerlo directamente:

Primero de todo, el conjunto solución es un colector de si

• $a=b=c=0$ (la esfera)

• $a=b=0$ $c\neq 0$ (es el círculo unitario en el $x-y$ plano).

Al$a=0$$b, c\neq 0$. Primero que todo tienen que ser de diferente signo, o el conjunto solución es vacío. Ahora suponga $b>0$ $c<0$ y escribir

$$ by^2 + cz^2 = by^2 - |c| z^2 = (\sqrt b y - \sqrt{|c|} z)(\sqrt b y + \sqrt{|c|} z).$$

Por lo tanto el conjunto solución es la unión de dos círculos con intersección. Por lo tanto no es un colector.

Por último, suponga que los tres son distintos de cero. La primera de todas las $a, b, c$ no puede ser del mismo signo, o el conjunto solución es vacío.

Suponga $a>0$$b, c, <0$. Dividiendo por $a$ si es necesario, podemos asumir que $a=1$. Entonces

$$x^2 = |b|y^2 + |c| z^2.$$

Poner en la primera ecuación da

$$ (1+|b|)y^2 + (1+ |c|)z^2 = 1, x = \pm \sqrt{1-(1+|b|)y^2 + (1+ |c|)z^2}$$

Esto significa que en virtud de la proyección de $(x, y, z) \mapsto (x, y)$ la solución las curvas proyectadas a la elipse. Desde $b, c$ son cero, $x$ es distinto de cero. Por lo tanto la proyección, mientras que la limita a $x>0$ (o $x<0$) es un diffeomorphism en su imagen. Esto demuestra que la solución de las curvas es de un colector y se diffeomorphic a dos disjuntas de la elipse.