Cómo probar $n < \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {n}} \right )^n$

Question

Quiero saber cómo probar la siguiente desigualdad.

Para $n = 1, 2, 3, \ldots $

$$ n < \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {n}} \right )^n $$

Lo intenté con la inducción matemática pero fallé.

Answer 1

Tenemos $$ \left (1+ \dfrac1 { \sqrt {n}} \right )^n = \sum_ {k=0}^n \dbinom {n}k \dfrac1 {n^{k/2}} \geq \underbrace {1 + \sqrt {n} + \dfrac {(n-1)}2 + \dfrac {n(n-1)(n-2)}{6} \dfrac1 {n^{3/2}} > n}_{ \text {For $ n \geq 3 $}}$$ Compruebe si $n=1,2$ manualmente.

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EDITAR Si no quieres hacer el sucio cálculo de mostrar $$1 + \sqrt {n} + \dfrac {(n-1)}2 + \dfrac {n(n-1)(n-2)}{6} \dfrac1 {n^{3/2}} > n$$ mostrando que la función apropiada está aumentando, aquí hay una forma más lógica. Tenemos $$ \underbrace {1 + \sqrt {n} + \dfrac {(n-1)}2 + \dfrac {n(n-1)(n-2)}{6n^{3/2}} > \dfrac {n+1}2 + \dfrac {n^{3/2}}{24}}_{ \text {For }n \geq 3}$$ La desigualdad anterior proviene del hecho de que $ \sqrt {n} > 0$ , $n-1 \geq \dfrac {n}2$ y $n-2 \geq \dfrac {n}2$ para $n \geq 3$ . Tenemos $ \dfrac {n^{3/2}}{24} \geq \dfrac {n}2$ para $n \geq 144$ . Ponga todo esto junto para obtener el resultado para $n \geq 144$ . Escriba un código para comprobar si es cierto para $n=1$ a $n=143$ .

Answer 2

Un enfoque general para estudiar una secuencia es primero forzar algún parámetro continuo en el problema, y luego usar la diferenciación.

Tomando los logaritmos, uno ve que la desigualdad requerida se mantiene para algunos $n$ si y sólo si $u( \sqrt {n}) \gt0 $ donde, por cada $x \gt0 $ , $$u(x)=x^2 \log (x+1)-(x^2+2) \log (x).$$ Equivalente, $$u(x)=x^2 \log\left (1+ \frac1x\right )+2 \log\left ( \frac1x\right )=x^4v(1/x),$$ donde la función $v$ se define por $$v(z)=z^2 \log (1+z)+2z^4 \log (z).$$ Así, $$v'(z)=2z \log (1+z)+8z^3 \log (z)+ \frac {z^2}{1+z}+2z^3.$$ Por cada $z$ en $(0,1)$ , $$z \log z \geqslant - \mathrm e^{-1}, \qquad 2 \log (1+z) \geqslant2z -z^2,$$ por lo tanto $$v'(z) \geqslant2z ^2-z^3-8 \mathrm e^{-1}z^2+ \frac {z^2}{1+z}+2z^3=(3-8 \mathrm e^{-1})z^2+ \frac {z^4}{1+z} \gt0 ,$$ desde $3 \mathrm e \gt8 $ . Así, $v$ está aumentando y, dado que $v(0)=0$ , $v(z) \gt0 $ para cada $z \gt0 $ Por lo tanto $u(x) \gt0 $ para cada $x \gt0 $ lo que implica el resultado.

Answer 3

Tenemos que

$$n < \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {n}} \right )^n \iff \ln n< n \ln \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {n}} \right ) \iff \frac { \ln n}{n}< \ln \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {n}} \right ).$$

Ahora, utilizamos las desigualdades (véase $(3)$ en http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v7n2/pade.pdf )

$$ \begin {equation} \frac {2x}{2+x} \le \ln (1+x) \le \frac {x}{2} \frac {2+x}{1+x}, \quad x>0. \tag {1} \end {equation}$$

En nuestro caso, obtenemos de $(1),$ $$ \ln \left (1+ \frac {1}{ \sqrt {n}} \right ) \ge \frac {2}{ \sqrt {n}+2}.$$

Por lo tanto, sólo tenemos que mostrar

$$ \frac {2}{ \sqrt {n}+2}> \frac { \ln n}{n}.$$ Eso es,

$$ \ln n< \frac {2n}{ \sqrt {n}+2}.$$ Desde $ \ln n=2 \ln \sqrt {n}$ La desigualdad anterior es equivalente a

$$ \ln \sqrt {n}< \frac {n}{ \sqrt {n}+2}.$$ Ahora, usando de nuevo $(1)$

$$ \ln \sqrt {n}= \ln (1+ \sqrt {n}-1) \le \frac { \sqrt {n}-1}{2} \frac { \sqrt {n}+1}{ \sqrt {n}}= \frac {n-1}{2 \sqrt {n}}.$$ Así que tenemos que mostrar

$$ \frac {n-1}{2 \sqrt {n}}< \frac {n}{ \sqrt {n}+2}.$$ Pero

$$ \frac {n-1}{2 \sqrt {n}}< \frac {n}{ \sqrt {n}+2} \iff 2(n-1)<(n+1) \sqrt {n},$$ que se aplica a cualquier $n \in\mathbb {N}.$

Answer 4

Pista :

$U= \left\ { \left (1+ \dfrac {1}{x} \right )^x: x \geq1\right\ } \implies \inf U=2< \left (1+ \dfrac {1}{ \sqrt {n}} \right )^ \sqrt {n} $

$$ \color {blue}{ \boxed { n \leq 2^{ \sqrt {n}} \implies {n< \left (1+ \dfrac {1}{ \sqrt {n}} \right )^n}\ \ \ \forall n \geq16 }}$$

Answer 5

$n<(1+ \frac {1}{ \sqrt {n}})^{n}$

$n^{1/n} < 1+1/ \sqrt {n}$

$n^{1/n + 1/2} < \sqrt {n}+1$

$(n^{(2+n)/2n} -1) < \sqrt {n}$

$n^{(2+n)/n} - 2n^{(2+n)/2n} +1 < n$

$n*n^{2/n} - 2 \sqrt {n}*n^{1/n} +1 < n$

Para los grandes valores posibles de "n", entonces podemos usar $$lim_{n->∞}n^{1/n} = 1$$ para aproximarse al original $$n*n^{2/n} - 2 \sqrt {n}*n^{1/n} +1 < n$$ bastante cerca como $$n*1^2 - 2 \sqrt {n}*1 +1 < n$$ o, más simplemente, $$n - 2 \sqrt {n} +1 < n$$ $$1-2 \sqrt {n}<0$$

Esto funciona para todos los valores posibles de "n" lo suficientemente grandes como para que funcione la aproximación anterior, y si usted está mirando "n" valores que usted siente que son demasiado pequeños para que funcione la aproximación, entonces usted está mirando "n" valores lo suficientemente pequeños como para usar el ensayo y el error.