Número de maneras en que el color de las aristas de un tetraedro con dos colores?

Question

Grogg colores de cada una de las aristas de un tetraedro púrpura o naranja. Dos colorantes se considera la misma si puede girar uno para producir el otro. Cuántos colores puede Grogg hacer?

Answer 1

Por enumeración, hay $12$

Allí es donde todos los seis de los bordes son de color púrpura

Hay una en la que cinco de los bordes son de color púrpura y uno es de color naranja

Hay dos donde cuatro bordes son de color púrpura y dos son de color naranja: el naranja bordes están compartiendo un vértice o que estén en los bordes opuestos

Repita todos estos con los colores intercambiados.

Finalmente, hay cuatro posibilidades cuando hay tres de cada color: un color comparten un vértice con otro color formando un triángulo, o cada uno de los colores sigue una sola línea de tres aristas con dos diferentes orientaciones posibles.

Gracias a @Donald Splutterwit y @PM para sus observaciones.

Answer 2

El número de borde de colorantes de un tetraedro con dos colores es $\color{red}{12}$.

Edit: tenga en cuenta que el espejo de la imagen de la "central" de configuración le da a otro que yo inicialmente había pasado por alto, gracias a PM para llevar esto a mi atención.

Answer 3

[Texto es una adaptación de uno de mis otras respuestas.]

Antes de que podamos responder a esta pregunta, debemos entender que las rotaciones del tetraedro. Usted puede ver las rotaciones en el video en https://vimeo.com/90519331 .

Básicamente,

1. $8$ rotaciones de las formas: $120^\circ$ o $240^\circ$ alrededor de un eje a través de un vértice y el centro de la cara.
2. $3$ más de rotaciones $180^\circ$ alrededor de un eje a través de los centros de los dos bordes opuestos.
3. $1$ más de "rotación" es no hacer nada (la rotación $0^\circ$).

¿Cómo sabemos que no faltan en esta lista de $12$ rotaciones? Bien, sólo hay $4!=24$ permutaciones de las caras (o vértices), y la mitad de ellos a su vez, el tetraedro en una versión de reflejo de sí mismo, que no se puede hacer con una rotación solamente.

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Ahora, ¿cómo podemos obtener el número de colorantes? Hay una gran teorema de contar, a menudo llamado Burnside del Lemaque dice: "cuando usted quiera contar las cosas con la simetría, la respuesta que el de la media (a través de todas las operaciones) de los números de las cosas (haciendo caso omiso de simetría) que no cambia cuando se realice la operación."

Así, para cada tipo de rotación, se debe contar cuántos colores no cambian:

1. Cómo muchos colorantes no cambia al girar una tercera parte de la forma en que alrededor de un vértice? Los tres bordes conectados al vértice debe tener el mismo color ($2$ posibilidades), y el triángulo de los otros tres bordes deben tener el mismo color ($2$ posibilidades). Por lo tanto, no se $2\times2$ colorantes para cada una de las $8$ rotaciones de este tipo.
2. Cómo muchos colorantes no cambia al girar a mitad de camino alrededor de un eje adecuado? Así, dos bordes terminan donde empezaron, así que cada uno de ellos son gratis para variar. Y los otros cuatro bordes de intercambio en dos pares, por lo que cada uno de los pares puede tener un color arbitrario (pero los dos bordes de la misma pareja debe tener el mismo color). Por lo tanto, no se $2^4=16$ colorantes para cada una de las $3$ rotaciones de este tipo.
3. Cuántos colores no cambian cuando usted no hace nada para el tetraedro? Todos ellos! Con $2$ colores y $6$ bordes, que es $2^6$.

Por Burnside del Lema, la respuesta es, a continuación, $$\frac{8\times4+3\times16+64}{12}=\frac{144}{12}=12\text{.}$$

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Un aparte para aquellos que quieren más, Burnside del Lexema tiene una generalización llamado la Pólya enumeración teorema, el cual puede ser utilizado para responder a las preguntas más específicas, como "si tuviéramos tres colores, cómo muchos de los colorantes de uso de cada color dos veces?", como en esta de mitad de período de la solución de documento del Profesor Jacob Lurie.

Answer 4

El ciclo de índice de rotación grupo de simetría del tetraedro que actúa sobre las aristas del tetraedro es $$ \frac{1}{12}(x_1^6+8x_3^2+3x_1^2x_2^2) $$ con $2$ colores de los rendimientos $$ \frac{1}{12}(2^6+8(2^2)+3(2^2)(2^2))=12 $$