Borde posible que los recuentos en los poliedros

Question

Dado que la fórmula de Euler estados: $$E=F+V-2$$ para que los valores de $E$ ¿existe un (no degenerada) poliedro?

Answer 1

Steinitz del teorema de los estados que

Cada 3-conectado plana gráfica es la gráfica de un poliedro.

Considere la posibilidad de una $n$-prisma, que ha $3n$ de los bordes de la $n\ge3$. Mediante la adición de un borde a través de uno de los rostros cuadrados, la gráfica sigue siendo de 3 conectado y planas, por lo que tenemos un poliedro con $3n+1$ bordes. Repitiendo esta operación en la otra cara cuadrada da un poliedro con $3n+2$ bordes. Por lo tanto, todo el borde de la cuenta al menos 9 son realizables.

La plaza de la pirámide tiene ocho bordes y el tetraedro tiene seis, el menor número posible. Pero puede un poliedro tiene siete bordes? Buscando en la fórmula de Euler: $$E=F+V-2$$ $$E+2=9=F+V$$ Desde las cuatro de la vértices no admite más bordes de las seis de un tetraedro (cuyos bordes unir cada par de vértices), se necesitan al menos cinco vértices ($V\ge5$), por lo $F\le4$. Pero el único poliedro con cuatro o menos que se enfrenta es el tetraedro. Por lo tanto, un poliedro puede tener siete bordes.

En resumen, un poliedro puede tener cualquier número de aristas que es, al menos, seis y no siete.

Answer 2

Considere la posibilidad de una pirámide con $n$-gon en la base. Ha $E=2n$ bordes.

Tomar un punto por encima de su cara triangular tener $E=2n+3$ bordes.

Answer 3

• Incluso para $E \ge 6$, vamos a $n = \frac{E}{2} \ge 3$, $n$- gonal de la pirámide ha $2n = E$ bordes.
• Por extraño $E \ge 9$, vamos a $n = \frac{E-3}{2} \ge 3$, $n$- gonal de la pirámide ha $2n = E-3$ bordes y $n$ caras triangulares. Tome una cara triangular y la cola de un tetraedro, un obtener un poliedro con $E = 2n+3$ bordes.
• Supongamos que tenemos un poliedro con $E = 7$ bordes. Desde cada vértice está conectado a al menos $3$ bordes y cada borde se adjunta a $2$ vértices, tenemos $$3V \le 2E = 14 \implies V \le 4$$ Ya tenemos al menos $4$ vértices para formar un poliedro, tenemos $V = 4$. Sin embargo, de un simple gráfico con $V$ vértices tiene en la mayoría de las $\frac{V(V-1)}{2}$ bordes y $\frac{4(4-1)}{3} = 6 < 7$. Un poliedro con $7$ bordes no existe.

Combine todo esto, no es un poliedro con $E$ de los bordes de la $E = 6$ y todos los $E \ge 8$.