La rama de las matemáticas rigurosamente define infinitesimals?

Question

Tengo algunos problemas para realizar cálculos estándar en el cálculo debido a la noción de un diferencial, de lo contrario se conoce como un infinitesimal, siendo más bien mal definidos, en mi experiencia.

Hay campos de las matemáticas que alguien puede recomendar para tratar de llegar a un más riguroso de agarre en la noción de infinitesimals? He oído y leído acerca de la no-estándar de análisis, pero por lo que puedo decir, incluso, que el rigor de la no-estándar de análisis no es tan firme como la de más establecidos ramas de las matemáticas. ¿Qué tan exacta es esta percepción?

Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.

Answer 1

Su percepción es equivocada. No-estándar de análisis se basa en la Lógica y es tan sólido como cualquier otro campo de las Matemáticas. Sugiero que lean Abraham Robinson No estándar de Análisis.

Answer 2

La mayoría de las objeciones a la no-estándar de análisis parecen ser sobre el uso del axioma de elección en la construcción del campo de hyperreals. No-estándar de análisis es completamente rigurosa, pero si eres un hardcore constructivista, entonces usted puede ser un poco aprensivo acerca de él. Entonces de nuevo, siempre hay algunas cosas que usted necesita tomar en la fe en cualquier rama de las matemáticas:

• Si eres un hardcore finitist entonces usted tiene que ser muy cuidadoso acerca de los análisis en general, desde los convencionales $\mathbb{R}$ como un objeto que no existe en absoluto.
• Si usted no acepta el axioma de dependiente de opciones, a continuación, usted está bastante limitado en lo que puede hacer en análisis real, porque muchos de los argumentos que se basan en tomar una secuencia elegido arbitrariamente.
• Si usted no cree que hay un nonprincipal ultrafilter en $\mathbb{N}$, entonces usted no puede construir el ultrapower necesario para crear la hyperreals.

Si usted decide permitir que más axiomas ("hay un conjunto infinito", "dependiente de decisiones", "no es un nonprincipal ultrafilter en $\mathbb{N}$"), a continuación, usted consigue el acceso a la consecuencia más interesante de las cosas que usted puede hacer, pero aún riguroso.

Nota, sin embargo, que si usted acepta la Elección, a continuación, en un cierto sentido, "cualquier cosa que usted puede hacer en el no-estándar de análisis, también se puede hacer sin el hyperreals" (ver https://math.stackexchange.com/a/51480/259262). Es un extra de la prueba técnica para hacer las cosas más fáciles de ocultar muchas de las $\forall \exists$ cuantificadores, en lugar de permitir que usted para demostrar que realmente nuevo en las cosas que no podía probar antes.

Answer 3

Sorprendentemente, una de las respuestas a la pregunta que te pedimos es que elementales de cálculo rigurosamente define infinitesimals.

¿Cómo hacerlo? A través de la noción de diferencial. El problema que usted está luchando con casi es al revés; el estándar, tradicional de la pista es:

• Definir el concepto de derivada
• Uso multivariable de los instrumentos derivados para definir las nociones de (tangente) de vectores y diferencial
• Conceptualizar la noción de un "infinitesimal" vecindad de un punto

Para detalles sobre ese último punto, se supone que se debe de visualizar los puntos de la infinitesimal barrio para ser enumerado por la tangente vectores — la idea intuitiva es que se tome un "infinitesimal" paso proporcional al vector tangente. Los diferenciales son las funciones en el infinitesimal barrio.

Pero esta concepción no está tratando de definir nada nuevo — no es más que una manera de pensar acerca de cálculo. (aunque sea muy útil!)

Pero el segundo punto es el pantano estándar. Por ejemplo, en el cálculo multivariable, una encarnación de estas nociones es

• Los vectores de tangentes a los puntos en $\mathbb{R}^n$ $n \times 1$ vectores columna — el tipo de cosa que usted consigue cuando la diferenciación de una función vectorial de una variable
• Los diferenciales en puntos de $\mathbb{R}^n$ $1 \times n$ vectores fila — el tipo de cosa que usted consigue cuando la diferenciación de una función escalar de $n$ variables

Tanto los temas de la geometría diferencial y geometría algebraica tratar este tipo de cosas mucho más explícita y más en profundidad.

Answer 4

Para responder a la pregunta del título: "la rama de las matemáticas rigurosamente define infinitesimals?": la respuesta es "un grave curso de licenciatura en álgebra, incluyendo la existencia de un ideal maximal". De hecho, eso es todo lo que se requiere para construir una verdadera extensión de la real campo de satisfacer el requisito de propiedades, tales como la existencia de infinitesimals, etc.