Deje $A\subset\Bbb N$ tal que para todos los $a\in A,b\in\Bbb N$, existe alguna $c$ tal que $a+bc$ es un cuadrado. ¿Qué es $A\cap\{1,2,\dots,2018\}$?

Question

Este es el primer problema de un local de la Olimpiada de Matemáticas en España. Voy a traducir, evitando algunas curiosas definiciones:

Deje $\Bbb N^*$ el conjunto de los enteros positivos, y $A$ el subconjunto de los números de $a$ $\Bbb N^*$ tal que para todos los $b\in \Bbb N^*$ no existe alguna $c\in\Bbb N^*$ tal que $a+bc$ es un cuadrado. ¿Qué es $B\equiv A\cap\{1,2,\ldots,2018\}$?

He encontrado que la adecuada (es decir, de$1^2$$44^2$) de los cuadrados perfectos son en $B$, pero he tropezado con la ecuación

$$a\equiv m^2\pmod b$$

Mi pregunta: ¿es posible que un no número cuadrado a ser un cuadrado en $\Bbb Z_b$ para cada entero positivo $b$?

Secundaria preguntas:

• ¿Hay alguna solución más sencilla para este problema?
• Son el Teorema del Resto Chino y la Reciprocidad Cuadrática Teorema, es necesario resolver esto? (Me parece que estos teoremas demasiado fuerte para un local de la Olimpiada).

Answer 1

Como se pide en los comentarios:

Si $a$ no es un cuadrado, a continuación, $v_p(a)=k$ es extraño que algunos de los mejores $p$. Dejando $b=p^{k+1}$ vemos que $v_p(a+bc)=k$ todos los $c$, por lo tanto $a+bc$ nunca puede ser un cuadrado.