Borel fuerte de la ley de los grandes números: las pruebas

Question

En cuántas formas de Borel fuerte de la ley de los grandes número puede ser probado: (yo estaba vagando obtener una colección)

La declaración es que "Casi todos los $x \in [0.1)$ son normales a$2$;. i.e para casi todos los $x \in [0.1)$, la frecuencia de $1$'s en el binario de expansión de $x$$1/2$.

Answer 1

Aquí es una prueba de uso de ergodicity; deje $L$ ser la medida de un conjunto de puntos con un único binario de expansión.

Ahora $x \in L$

$x=.a_0a_1...=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{2^{i+1}}$ donde$a_i \in \{0,1\}$, a continuación, defina $Tx=\sum_{i=1}^\infty \frac{a_i}{2^{i+1}}$ i.e $T:[0,1) \to [0,1)$ s.t $x \mapsto 2x(mod 1)$

Compruebe que $T$ es ergodic w.r.t medida de Lebesgue. Luego de tomar $f=\chi_{[\frac 12,1)}$

La frecuencia de $1$'s en el binario de expansión de $x= lim_{n \to \infty}\frac 1n |\{0 \leq j \leq n-1| a_j=1\}|=lim_{n \to \infty}\frac 1n |\{0 \leq j \leq n-1| T^j(x) \in[\frac 12,1)\}|=lim_{n \to \infty}\frac 1n\sum_{j=0}^{n-1}f(T^jx)=lim_{n \to \infty}\frac 1n\sum_{j=0}^{n-1}\chi_{[\frac 12,1)}(T^jx) \to \int_Xf=\frac 12$