Curva en forma de hueso de perro: $|x|^x=|y|^y$

Question

EDITADO: Algunas de las preguntas son anseradas, otras no.

EDITADO: Para no hacer este post demasiado largo, he publicado otro puesto que consiste en más preguntas.

Dejemos que $f$ sea (casi) la curva implícita $$|x|^x=|y|^y$$ Vea el gráfico de la curva en forma de hueso de perro particularmente interesante a continuación Obviamente, el gráfico debe contener la línea $x=y$ .

Sin embargo, lo que quiero $f$ para ser, es, el gráfico $|x|^x=|y|^y$ , sin línea $x=y$ pero que, sin embargo, contiene los dos puntos de intersección de la curva con $x=y$ . Tenga en cuenta que la convención $0^0=1$ , tal vez no como usaul.

Claramente $f$ no es una función.

No tengo ninguna idea sobre la continuidad, la derivada, la integral, y muchas otras técnicas importantes, se aplican en una curva implícita.

Sin embargo, quiero preguntar:

$1$ ) Cómo escribir $f$ de forma rigurosa? (¿Cómo representar "la intersección de la curva con $x=y$ como la línea $x=y$ está contenida originalmente en la curva).

$2$ ) Es $f$ continua?(¿Qué significa ser una curva implícita continua? ¿Es suave?)

$3$ ) ¿Cómo podemos descomponerlo en varias funciones para poder utilizar las propiedades de las funciones?

$4$ )[RESPUESTA] ¿Podemos encontrar el área (tal vez no 'integral', ya que en la definición a la integral de Riemann, la integral bajo el eje x es negativa, pero claramente el área no puede ser negativa) que rodea la curva $f$ ? ¿O tiene algún sentido decir el área de una curva implícita? ¿Existe una definición estricta? En wikipedia ¿tal vez tengamos que demostrar que es la curva de Jordan? (Gracias, Peter Heinig, en el comentario.
Respuesta : Por Barry Cipra, la integral es $3.527\dots$ .

$5$ ) Dada una línea recta, a lo sumo en cuántos puntos puede intersecar la línea $f$ ? Creo que la respuesta es 4, como ejemplo, $y=-x-1$ . Además, ¿qué pasa si la línea tiene la forma $y=a$ mientras que $a\in\mathbb R$ ? Creo que es 2. Ver la imagen de abajo, para ver algún ejemplo

$6$ ) ¿Dónde están los extremos de $f$ ,

• a) en el sentido normal,

• b) cuando tomamos $x=y$ como el $x$ -eje,

• c) cuando tomamos $x=-y$ como el $x$ -¿eje?

$7$ ) ¿Cuál es la intersección de la curva con,

• a) $x=y$ (RESPUESTA de Rahul)

• b) $x=-y$ , (RESPUESTA)

Si $x>0$ y $x=–y$ , entonces obtenemos $x^x=x^{–x}$ , $x^{2x}=1$ , $x=1$ , $y=–1$ , y de forma similar para $x<0$ obtenemos $x=–1,y=1$ . Esto responde a la 7b. - Wojowu

• c) $x$ -¿eje? (RESPUESTA)

$8$ )

• a) ¿Cuál es el círculo circunscrito a la curva $f$ ? (Creo que puede ser $x^2+y^2=2$ )

• b) ¿Cuál es la circunferencia inscrita a la curva $f$ ?
  $\space\space\space$ (He observado por ensayo y error que puede ser $x^2+y^2=a$
  $\space\space\space$ mientras que $a\approx 0.27067056\approx\frac{1352}{4995}$ (véase la imagen de abajo)

9)[RESPUESTA]
Quizá debamos limitar nuestra atención a $x^x=y^y$ , considere la parte de $f$ que está en el primer cuadrante (incluyendo los ejes x e y positivos),ver la imagen de abajo, la curva roja. ¿Cómo podemos encontrar la integral de la misma en [0,1](¿Cómo podemos escribirla de una forma más conveniente?) He observado que la integral debería ser $\gt 1-\frac{\pi}{4}$ (Ver la imagen de abajo) y $\lt \frac{1}{2}$ tal vez, $\frac{e}{10}$ ?.
Respuesta : Por Yuriy S, la integral es $0.317\dots$ .

10)¿Es el lugar, cuando $f$ se gira alrededor del origen, el área entre los dos círculos concéntricos $x^2+y^2=2$ y $x^2+y^2=\frac{2}{e^2}$ ? Vea la imagen y aquí . Las ecuaciones del gráfico:

Utilizando la matriz de rotación, como se menciona en la respuesta de Yuriy S,
Definir un parámetro $a$ como el grado de rotación mide en radianes (en el sentido de las agujas del reloj),
$f$ después de la rotación, es $$\left|x\cdot\cos a-y\sin a\right|^{x\cdot\cos a-y\sin a}=\left|x\sin a+y\cos a\right|^{x\sin a+y\cos a}$$ Para $$\space x\cdot\cos a-y\sin a\neq x\sin a+y\cos a$$ Por supuesto, hay dos puntos más.

¿Ayuda a demostrar que $f$ es continua, es decir, la pregunta 2 anterior?

NOTA: Para interpretar el gráfico con Desmos, debemos considerar dos casos, a saber $\space x\cdot\cos a-y\sin a<x\sin a+y\cos a$ y $\space x\cdot\cos a-y\sin a> x\sin a+y\cos a$ respectivamente, véase el enlace anterior.

Necesito realmente disculparme que realmente no tengo ninguna idea para responder. Actualmente no estoy familiarizado con la curva implícita, pero sólo un poco de conocimiento sobre el análisis real. Sin embargo, lo pregunto porque creo que es interesante. Además, es bueno que la respuesta sea fácil, pero no es necesario que la respuesta sea muy elemental, ya que saber cómo se puede resolver la pregunta con maravillosas técnicas matemáticas es en sí mismo interesante. Bienvenida sea cualquier respuesta, aunque no sea una respuesta completa a las 10 preguntas.

Gracias por responder a mis ingenuas preguntas.

Perdón por una nueva pregunta, pero me gusta mucho preguntar :)

Answer 1

Hay tantas preguntas... Permítanme comenzar con una pista útil.

Podemos girar la curva $45$ grados en sentido contrario a las agujas del reloj para obtener algo con lo que podamos trabajar mejor.

La rotación puede hacerse con el uso de Matriz de rotación que en este caso nos da simplemente:

$$x=\frac{1}{\sqrt{2}} (y_2+x_2) \\ y=\frac{1}{\sqrt{2}} (y_2-x_2)$$

Ahora sólo tenemos que sustituir las expresiones anteriores en la ecuación (y olvidarnos de los subíndices justo después):

$$\left| \frac{1}{\sqrt{2}} (y+x) \right|^{ \frac{1}{\sqrt{2}} (y+x)}=\left| \frac{1}{\sqrt{2}} (y-x) \right|^{ \frac{1}{\sqrt{2}} (y-x)}$$

Obtenemos el siguiente gráfico (con círculos añadidos posteriormente, por supuesto):

El círculo circunscrito tiene realmente un radio $\sqrt{2}$ como el OP adivinó. Se puede ver al establecer $y=0$ en la ecuación anterior.

El círculo inscrito es más complicado. Si establecemos $x=0$ nos encontramos con que:

$$\left| \frac{y}{\sqrt{2}}\right|^{ \frac{y}{\sqrt{2}}}=\left| \frac{y}{\sqrt{2}}\right|^{ \frac{y}{\sqrt{2}}}$$

Pero esto es válido para cualquier $y$ . Recuerda la línea $y=x$ que satisface la ecuación original? Por eso.

Al ampliar el zoom en Desmos vemos que el radio es de aproximadamente $$a \approx 0.52026,$$

ver más abajo el valor exacto.

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Ahora, este tipo de ecuación es muy complicada de trabajar. Sin embargo, podemos utilizar logaritmos para hacerla más manejable:

$$(y+x) \log \left| \frac{1}{\sqrt{2}} (y+x) \right|=(y-x) \log \left| \frac{1}{\sqrt{2}} (y-x) \right|$$

Esta ecuación describe la misma curva, pero ahora podemos trabajar con ella utilizando métodos analíticos (como las series de Taylor, en los rangos adecuados de $x$ y $y$ ).

Por ejemplo, el ajuste:

$$y>0 \\ y > |x|$$

Podemos deshacernos de los valores absolutos y escribir:

$$(y+x) \left( \log y+ \log \left(1+\frac{x}{y} \right)-\frac{\log 2}{2} \right)=(y-x) \left( \log y+ \log \left(1-\frac{x}{y} \right)-\frac{\log 2}{2} \right)$$

Simplificando:

$$2x \log y +y \left(1+\frac{x}{y} \right) \log \left(1+\frac{x}{y} \right)- y \left(1-\frac{x}{y} \right) \log \left(1-\frac{x}{y} \right) -x \log 2 =0$$

Ahora, para encontrar la raíz no trivial en $x=0$ (el radio del círculo inscrito) podemos añadir la condición $y \gg |x|$ y expandir las funciones logarítmicas, manteniendo sólo los términos hasta $x^2$ :

$$2x \log y +y \left(1+\frac{x}{y} \right) \left(\frac{x}{y}-\frac{x^2}{2y^2} \right)- y \left(1-\frac{x}{y} \right) \left(-\frac{x}{y}-\frac{x^2}{2y^2} \right) -x \log 2 =0$$

Simplificando (y manteniendo sólo los términos hasta $x^2$ ), obtenemos:

$$x \left(2 \log y+2 - \log 2 \right)=0$$

Como ya hemos visto, $x=0$ nos da una solución trivial para cualquier $y$ . Sin embargo, si $x \neq 0$ pero está muy cerca, tenemos también otra solución:

$$2 \log y+2 - \log 2=0$$

$$y=\exp \left( \log \sqrt{2}-1 \right)=\frac{\sqrt{2}}{e}=0.52026009502 \dots$$

Este nuestro $a$ radio de la circunferencia inscrita.

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En realidad hay otro círculo asociado, que se parece a esto:

Está completamente definido por el curvatura de la función alrededor de $x=0$ .

Sus parámetros podrían deducirse exactamente (probablemente) utilizando la definición de la curvatura, pero yo he utilizado una aproximación. Mantengamos no sólo términos cuadráticos, sino también cúbicos en la expansión del logaritmo. Entonces obtenemos:

$$x \left(2 \log y+2 - \log 2-\frac{x^2}{3y^2} \right)=0$$

Reordenando, podemos ver que (para $x \neq 0$ ):

$$y=\frac{\sqrt{2}}{e} \exp \left(1+ \frac{x^2}{3y^2}\right) \approx \frac{\sqrt{2}}{e} \left(1+ \frac{x^2}{3y^2}\right)$$

A partir de la ecuación general del círculo para pequeños $x$ que tenemos:

$$y=y_0-\sqrt{R^2-x^2} \approx y_0-R \left(1- \frac{x^2}{2R^2} \right)=y_0-R+\frac{x^2}{2R}$$

En nuestro caso, $R$ es una función de $y$ pero hagamos otra aproximación y supongamos $y= a=\frac{\sqrt{2}}{e}$ entonces tenemos..:

$$R \approx \frac{3}{e \sqrt{2}} \\ y_0 \approx \frac{5}{e \sqrt{2}}$$

El diagrama anterior utiliza estos valores y podemos ver que se ajustan muy bien.

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Añadiré más a esto cuando se me ocurra algo más.

Answer 2

Representación paramétrica

Dejemos que $y=ax$ entonces $$ |x|^x=|ax|^{ax} $$ y por lo tanto, $$ |x|=|a|^{\frac{a}{1-a}} $$ lo que significa que $$ (x,y)=\pm|a|^{\frac{a}{1-a}}(1,a) $$ Para $a\not\in[-1,1]$ la transformación $a\mapsto\frac1a$ , mapas $$ \begin{array}{c} a\in(1,\infty)&\pm|a|^{\frac{a}{1-a}}(1,a)&\overset{a\mapsto\frac1a}{\longmapsto}&\pm|a|^{\frac{a}{1-a}}(a,1)&a\in(0,1)\\ a\in(-\infty,-1]&\pm|a|^{\frac{a}{1-a}}(1,a)&\overset{a\mapsto\frac1a}{\longmapsto}&\mp|a|^{\frac{a}{1-a}}(a,1)&a\in[-1,0) \end{array} $$ Así, obtenemos toda la curva utilizando $a\in[-1,1)$ con las cuatro piezas: $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{ \begin{align} \color{#C00}{+|a|^{\frac{a}{1-a}}(1,a)}\\ \color{#090}{+|a|^{\frac{a}{1-a}}(a,1)}\\ \color{#F90}{-|a|^{\frac{a}{1-a}}(1,a)}\\ \color{#00F}{-|a|^{\frac{a}{1-a}}(a,1)} \end{align} } $$

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Los círculos circunscritos e inscritos

La derivada del logaritmo de la distancia al origen es $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\log\left(|a|^{\frac{a}{1-a}}\sqrt{1+a^2}\right) &=\frac{\frac{1-a^2}{1+a^2}+\log|a|}{(1-a)^2}\\ &\le0 \end{align} $$ desde $\frac{1-a^2}{1+a^2}+\log|a|$ es uniforme y aumenta hasta $0$ en $(0,1)$ es decir, su derivada es $\frac1a\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)^2\ge0$ . Así, la distancia al origen disminuye monótonamente a medida que $a$ va de $-1$ a $1$ . Por simetría, la distancia máxima se produce en $a=-1$ y la distancia mínima se produce en $a=1$ .

Los puntos más alejados del origen, donde $a=-1$ son $$ (-1,1)\text{ and }(1,-1) $$ Tomando los límites, obtenemos los puntos más cercanos al origen, donde $a\to1^-$ son $$ \left(e^{-1},e^{-1}\right)\text{ and }\left(-e^{-1},-e^{-1}\right) $$ Así, el radio del círculo circunscrito es $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sqrt2} $$ y el radio del círculo inscrito es $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{\sqrt2}e} $$

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Área $$ \begin{align} &4\int_{-1}^1\frac12|a|^{\frac{a}{1-a}}(1,a)\times\left[\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}|a|^{\frac{a}{1-a}}\right)(1,a)+|a|^{\frac{a}{1-a}}(0,1)\right]\mathrm{d}a\\ &=2\int_{-1}^1|a|^{\frac{2a}{1-a}}\,\mathrm{d}a\\[6pt] &\doteq\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{3.5272349603958296088} \end{align} $$

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Longitud

Podríamos evitar el cálculo de la siguiente derivada para el área porque $(1,a)\times(1,a)=0$ pero lo necesitamos por la longitud: $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}|a|^{\frac{a}{1-a}} =\frac{1-a+\log|a|}{(1-a)^2}|a|^{\frac{a}{1-a}} $$ Así, $$ \begin{align} \left|\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\left(|a|^{\frac{a}{1-a}}(1,a)\right)\,\right| &=|a|^{\frac{a}{1-a}}\left|\frac{1-a+\log|a|}{(1-a)^2}(1,a)+(0,1)\right|\\ &=|a|^{\frac{a}{1-a}}\left[\left(\frac{1-a+\log|a|}{(1-a)^2}\right)^2+\left(a\frac{1-a+\log|a|}{(1-a)^2}+1\right)^2\right]^{1/2}\\ &=\frac{|a|^{\frac{a}{1-a}}}{(1-a)^2}\sqrt{(1-a+\log|a|)^2+(1-a+a\log|a|)^2} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ 4\int_{-1}^1\left|\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\left(|a|^{\frac{a}{1-a}}(1,a)\right)\,\right|\mathrm{d}a \doteq\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{8.0060888731054946925} $$

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Máximo $\boldsymbol{y}$

Dejar $t=-a$ donde $a\lt0$ en la curva verde, queremos encontrar el máximo, para $t\gt0$ de $$ \log\left(t^{-\frac{t}{1+t}}\right)=-\frac{t}{1+t}\log(t) $$ Tomando la derivada, se obtiene $$\newcommand{\W}{\operatorname{W}} -\frac1{(1+t)^2}\log(t)-\frac1{1+t}=0\implies t=\W\left(\frac1e\right) $$ Así, el máximo $y$ es $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{t^{-\frac{t}{1+t}}\doteq1.321099762015617457} $$ lo que ocurre cuando $x=-ty$ es decir, cuando $x$ es $$ -t^{\frac1{1+t}}\doteq-0.36787944117144232160 $$ Los otros puntos extremos no rotados se pueden encontrar por simetría.

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Answer 3

Me parece más elegante trabajar con el logaritmo de su ecuación, $x\log|x|=y\log|y|$ aunque esto no es estrictamente necesario para lo siguiente.

Dejemos que $g(x)=x\log|x|$ para que nuestra curva definida por $g(y)-g(x)=0$ . Claramente, el lado izquierdo cambia de signo cuando intercambiamos $x$ y $y$ En otras palabras, cuando cruzamos la línea $y=x$ .

Podemos anular el cambio de signo utilizando $(g(y)-g(x))/(y-x)=0$ en su lugar.

El lado izquierdo es ahora indefinido cuando $y=x$ pero hay que tener en cuenta que en el límite como $y\to x$ es precisamente la definición de $g'(x)$ que es $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x\log|x|) = 1+\log|x|$ .

Por lo tanto, podemos definir la curva sin el $y=x$ como el conjunto de niveles cero de la función continua $$\begin{cases} 1+\log|x| & \text{if $ y=x $,} \\ \frac{y\log|y|-x\log|x|}{y-x} & \text{otherwise.} \\ \end{cases}$$

En particular, el punto donde la curva se encuentra con la línea $y=x$ viene dada por $1+\log|x|=0$ es decir $x=y=\pm1/e$ .

Answer 4

Utilicemos las coordenadas polares para examinar algunos de los aspectos del hueso del perro. Escribir $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ con $r\gt0$ y $0\le\theta\lt2\pi$ para $(x,y)\not=(0,0)$ encontramos

$$|x|^x=|y|^y\iff x\ln|x|=y\ln|y|\iff \cos\theta(\ln r+\ln|\cos\theta|)=\sin\theta(\ln r+\ln|\sin\theta|)\\ \iff(\cos\theta-\sin\theta)\ln r=\sin\ln|\sin\theta|-\cos\theta\ln|\cos\theta|$$

por lo que genéricamente tenemos

$$\ln r={\sin\theta\ln|\sin\theta|-\cos\theta\ln|\cos\theta|\over \cos\theta-\sin\theta}$$

o

$$r(\theta)=\left(|\sin\theta|^{\sin\theta}\over|\cos\theta|^{\cos\theta} \right)^{1/(\cos\theta-\sin\theta)}$$

Esto está bien definido y es continuo para todos los valores de $\theta$ excepto cuando $\cos\theta=\sin\theta$ es decir, en $\theta={\pi\over4}$ y ${5\pi\over4}$ . (Nota: la ecuación $(\cos\theta-\sin\theta)\ln r=\sin\ln|\sin\theta|-\cos\theta\ln|\cos\theta|$ permite $r$ para asumir cualquier valor positivo cuando $\cos\theta=\sin\theta$ , dándonos todos los puntos en la línea $y=x$ pero ignoramos esos puntos, excepto los que están en la curva). L'Hopital nos permite rellenar un valor para $\ln r$ en esos puntos. Por simetría, basta con mirar $\theta\to\pi/4$ . Obtenemos

$$\begin{align} \lim_{\theta\to\pi/4}{\sin\theta\ln|\sin\theta|-\cos\theta\ln|\cos\theta|\over \cos\theta-\sin\theta} &=\lim_{\theta\to\pi/4}{(\cos\theta\ln|\sin\theta|+\cos\theta)+(\sin\theta\ln|\cos\theta|+\sin\theta)\over-\sin\theta-\cos\theta}\\ &=\ln\sqrt2-1 \end{align}$$

que nos dice

$$r\left(\pi\over4\right)={\sqrt2\over e}\approx0.52026$$

como encontró Yuriy S.

También podemos pedir a Wolfram Alpha que evalúe la integral del área:

$$A=\int_0^{2\pi}{1\over2}r(\theta)^2\,d\theta=\int_0^\pi\left(|\sin\theta|^{\sin\theta}\over|\cos\theta|^{\cos\theta} \right)^{2/(\cos\theta-\sin\theta)}d\theta\approx3.52723$$

Answer 5

Esto es para la pregunta 9). Voy a publicar otra respuesta, porque la primera se ha hinchado bastante.

Para encontrar la integral, volveré a utilizar mi función de rotación. No es difícil ver que el área que el OP quiere encontrar es el doble del área sombreada:

Para escribir la integral explícitamente, utilizaré la ecuación que obtuve para $y>x$ y $y>0$ :

$$2x \log y +y \left(1+\frac{x}{y} \right) \log \left(1+\frac{x}{y} \right)- y \left(1-\frac{x}{y} \right) \log \left(1-\frac{x}{y} \right) -x \log 2 =0$$

Introduzcamos un nuevo parámetro:

$$t=\frac{x}{y}, \qquad t \in (0,1)$$

Entonces, tenemos una función explícita:

$$\log y(t)= \frac{\log 2}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t} +1\right) \log (1+t)+\frac{1}{2} \left( \frac{1}{t}-1 \right) \log (1-t)$$

Tenga en cuenta que:

$$y(1)=\frac{1}{ \sqrt{2} }$$

El área sombreada viene dada por:

$$I= \int_0^{1/ \sqrt{2}} y(x) dx - \int_0^{1/ \sqrt{2}} x dx=\int_0^{1/ \sqrt{2}} y(x) dx- \frac{1}{4}$$

Es importante tener en cuenta:

$$dx=d(t y)=t \frac{dy}{dt} dt+y dt= \left(t \frac{dy}{dt}+y \right) dt$$

Así que tenemos:

$$\int_0^{1/ \sqrt{2}} y(x) dx=\int_0^1 y(t) \left(t \frac{dy}{dt}+y \right) dt=\int_0^1 t y \frac{dy}{dt} dt+\int_0^1 y^2 dt$$

La primera integral se puede calcular integrando por partes:

$$J=\int_0^1 t y \frac{dy}{dt} dt=t y^2 \big|_0^1 - \int_0^1 y(t) \left(t \frac{dy}{dt}+y \right) dt= \frac{1}{2}-J - \int_0^1 y^2 dt$$

Lo que significa:

$$J=\frac{1}{4}-\frac{1}{2} \int_0^1 y^2 dt$$

Y por último:

$$I=\frac{1}{2} \int_0^1 y^2 dt$$

$$I=\int_0^1 \exp \left(- \left(\frac{1}{t} +1\right) \log (1+t)+ \left( \frac{1}{t}-1 \right) \log (1-t) \right) dt \tag{1}$$

Wolfram Alpha calcula:

$$I=0.15858185771988216006213921681874564 \dots$$

Así que finalmente el área que el OP estaba interesado en:

$$2I=0.31716371543976432\dots$$

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Espero no haber cometido ningún error, pero al menos las estimaciones del OP se comprueban como:

$$1-\frac{\pi}{4} < 2I < \frac{1}{2}$$

Actualización:

El valor es correcto, como se confirma utilizando la forma polar de Barry Cipra:

$$2I=\int_0^{\pi/4}\left(|\sin\theta|^{\sin\theta}\over|\cos\theta|^{\cos\theta} \right)^{2/(\cos\theta-\sin\theta)}d\theta$$

Actualización 2

Un poco de trabajo con la integral (1). Utilizando la serie de Taylor para el logaritmo y simplificando, obtenemos una fórmula muy compacta con la serie:

$$I=\frac{1}{e^2} \int_0^1 \exp \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{k(2k+1)} \right) dt= \\ =\frac{1}{e^2} \int_0^1 \exp \left( \frac{t^2}{3}+\frac{t^4}{10}+\frac{t^6}{21}+\frac{t^8}{36}+\frac{t^{10}}{55}+\cdots \right) dt \tag{2}$$

Esto da $\frac{2}{e^2}$ (que es precisamente $a^2$ es decir, el radio del círculo inscrito) como una buena aproximación (desde abajo) al área en cuestión. La integral en (2) tiene un valor de aproximadamente $1.17$ .

Aquí está, para comparar, el área de la mitad del círculo inscrito $A_1= a^2 \frac{\pi}{2}$ y la zona que se encuentra aquí $A_2 = a^2 \int_0^1 \exp \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{k(2k+1)} \right) dt$ :

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Para una descripción más completa, alternativa a la polar, añadiré también la forma paramétrica para $x>y$ que se deriva de la misma manera de la ecuación logarítmica.

Ahora la representación paramétrica completa de la curva es:

$$\begin{cases} \displaystyle x(t)= \pm \frac{\sqrt{2}}{e}~t ~ \exp \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{2k(2k+1)} \right) \\ \displaystyle y(t)= \pm \frac{\sqrt{2}}{e} \exp \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{2k(2k+1)} \right) \\ t \in (0,1) \end{cases} \tag{a}$$

$$\begin{cases} \displaystyle x(t)= \pm \sqrt{2} \exp \left( -\sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{2k(2k-1)} \right) \\ \displaystyle y(t)= \pm \sqrt{2}~ t ~ \exp \left(- \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{2k(2k-1)} \right) \\ t \in (0,1) \end{cases} \tag{b}$$

Como puede ver, consta de $8$ piezas, para cada signo en (a) y (b).

Utilizando esta representación, se puede calcular explícitamente la arclitud de la curva.

Aquí está el Enlace a Desmos con la demostración.

A partir de las propiedades de simetría que tenemos para toda la zona (de acuerdo con los resultados de Barry Cipra y robjohn):

$$A=4 \int_0^1 \left( \frac{1}{e^2} \exp \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{k(2k+1)} \right) + \exp \left(- \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{2k}}{k(2k-1)} \right)\right) dt =3.52723\dots $$