¿La suma $\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}\tan n$ ¿convergen en absoluto?

Question

El que está en cuestión es el siguiente:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}\tan n $$

Esto surge en una de esas discusiones de cafetería...

Answer 1

Para cada $x \in \mathbb{R}$ su medida de irracionalidad $\mu(x)$ se define como

$$ \mu(x) = \inf \left\{ c \in \mathbb{R} : \left| x - \frac{a}{b} \right| \leq \frac{1}{|b|^c} \text{ for at most finitely many } (a, b) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^{*}\right\}. $$

Recojamos algunas propiedades básicas de $\mu$ :

1. Está claro que $\mu(x) = 1$ si $x$ es racional. Por otro lado, si $x$ es irracional, entonces por Teorema de aproximación de Dirichlet tenemos $\mu(x) \geq 2$ .

2. Tenemos $\mu(x) = \mu(1/x)$ . De hecho, basta con demostrarlo para los irracionales $x$ . Para ello, observe que si $0 < c < \mu(x)$ entonces existe $(a_j, b_j) \in \mathbb{Z}^* \times \mathbb{Z}^*$ tal que $|b_j| \to \infty$ y que $|x - (a_j/b_j)| \leq |b_j|^{-c}$ . En particular, $a_j/b_j \to x$ . Entonces se deduce que

   $$ \left| \frac{1}{x} - \frac{b_j}{a_j}\right| = \frac{|b_j/a_j|}{|x|} \left| x - \frac{a_j}{b_j} \right| \leq \frac{\text{const}}{|b_j|^c} \leq \frac{\text{const}}{|a_j|^c} \leq \frac{1}{|a_j|^{c-\epsilon}} $$

   si $\epsilon > 0$ y $j$ es lo suficientemente grande. Así que tenemos $c-\epsilon \leq \mu(1/x)$ y esto es suficiente para concluir la reclamación.

3. Es bien sabido que $\mu(\pi) < \infty$ .

Utilizando estas propiedades, encontramos que $\mu(1/\pi) < \infty$ . Así que podemos elegir $c > \mu(1/\pi)$ . Entonces

$$ |\cos n| = \left|\sin\pi\left(\frac{n}{\pi} - \frac{1}{2} - a \right) \right| $$

para cualquier $a \in \mathbb{Z}$ . Escoge $a$ tal que $\left| \frac{n}{\pi} - \frac{1}{2} - a \right| \leq \frac{1}{2}$ . Entonces, utilizando la desigualdad $|\sin(\pi x)| \geq 2|x|$ para $|x| \leq \frac{1}{2}$ para grandes $n$ tenemos

$$ |\cos n| \geq |2n|\left|\frac{1}{\pi} - \frac{2a+1}{2n} \right| \geq |2n|\cdot\frac{1}{|2n|^{c}} = \frac{1}{|2n|^{c-1}}. $$

Esto demuestra que $|\tan n| \leq |2n|^{c-1}$ para grandes $n$ y por lo tanto la serie converge absolutamente por la prueba de comparación.

Answer 2

Esto no demuestra nada.

Compartiendo la misma opinión que Marty Cohen, acabo de realizar evaluaciones numéricas de $$S_k=\sum_{n=1}^{10^k}e^{-n}\, \tan(n)$$ y ha obtenido los siguientes resultados $$\left( \begin{array}{cc} k & S_k \\ 1 & 0.2663227174666176381276531 \\ 2 & 0.2625520215463125833311472 \\ 3 & 0.2625520215463125833311472 \\ 4 & 0.2625520215463125833311472 \\ 5 & 0.2625520215463125833311472 \\ 6 & 0.2625520215463125833311472 \end{array} \right)$$