La desigualdad que involucra longitudes y triángulos

Question

Yo estaba bastante seguro de que este hubiera sido preguntado antes, pero no lo pude encontrar, así que aquí va:

Si $\displaystyle BC<AC<AB \hspace{5pt} (\alpha<\beta<\gamma)$, mostrar $\displaystyle PA+PB+PC<\beta+\gamma \hspace{3pt}$ (donde $P$ arbitrarias en el interior del triángulo).

Realmente no he sido capaz de hacer un simple pero convincente intento (aunque tengo un poco de desorden solución). Sé que hay un bonito y elegante manera de hacerlo, pero se que no viene a mí.

Answer 1

El Fermat-Torricelli punto de un triángulo $ABC$ es el punto de $P$ tal que $PA+PB+PC$ es mínimo. Se encuentra generalmente a través de las siguientes líneas: Supongamos que, por la primera, que el $ABC$ no tiene ningún ángulo mayor que $120^\circ$ y tomar un punto de $Q$ dentro $ABC$. Deje $Q'$ la imagen de $Q$ bajo una rotación de $60^\circ$ alrededor $B$, $A'$ del mismo modo: A continuación,$Q'A'=QA$$BQ=BQ'=QQ'$, por lo tanto: $$ QA+QB+QC = A'Q'+Q'Q+QC \leq CA', $$ y el de Fermat-Torricelli punto se encuentra en la intersección de las líneas a través de un vértice de $ABC$ y el correspondiente vértice de un triángulo equilátero construido en el lado opuesto, en el exterior, a $ABC$.

Sin embargo, si $ABC$ tiene un ángulo de $\geq 120^\circ$, el de Fermat-Torricelli punto es sólo el vértice opuesto al lado más largo.

Se puede terminar a partir de ahí?

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Actualización: también tengo un one-shot-uno-matar a la solución. La función que se asigna a $P$ $PA+PB+PC$es una función convexa, como una suma de funciones convexas. De ello se desprende que $PA+PB+PC$ alcanza su máximo en el vértice de $ABC$, ya que el $ABC$ es un conjunto convexo. Si $BC<AC<AB$, un máximo obviamente alcanzado en $A$, y la demanda de la siguiente manera.