Evalúa la integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Question

$$\int_{\frac{-\pi}{4}}^{0} (\sec x \tan x) dx$$

Necesito evaluar la integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Answer 1

Una pista: $\sec x \tan x$ es la derivada de $\sec x$ .

Una forma de ver esto es reescribir $\sec x$ y $\tan x$ en términos de seno y coseno. Obtenemos $\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$ . Haz la sustitución $u=\cos x$ .

Observación: Una versión del Teorema Fundamental del Cálculo dice que si $f(x)$ es una función que se comporta bien en el intervalo $[a,b]$ entonces $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),$$ donde $F(x)$ es cualquier función cuya derivada es $f(x)$ ,

Answer 2

Dejemos que $u=\sec(x)$ . Entonces $du = \sec(x) \tan(x) dx$ . Vemos que se trata de una diferencial perfecta. Entonces, por el teorema fundamental, la integral es $\sec(0) - \sec(\frac{-\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2}$

Answer 3

$\int_{\frac{-\pi}{4}}^0{\sec x\tan xdx}=\sec x|_{\frac{-\pi}{4}}^{0}= \sec(0)-\sec(\frac{-\pi}{4})=1-\sqrt{2}$