Aclaración del recuento

Question

En el texto que estoy leyendo hay una pregunta:

De los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ ¿Cuántos números de cuatro dígitos con dígitos distintos se pueden construir? ¿Cuántos de ellos son números pares?

Obtengo la primera parte correctamente multiplicando $6*6*5*4 = 720$ .

Para calcular la segunda parte, sigo este proceso.

El lugar de la unidad se puede elegir de 4 maneras diferentes $(0,2,4,6)$ .

El lugar de la decena puede elegirse de 6 maneras ( $7-1$ formas)

El lugar de la centena se puede elegir de 5 maneras( $7 - 2$ ya elegido)

El lugar del mil se puede elegir de 3 maneras (6 (dígitos excluyendo el 0) - 3 ya elegidos).

Así, esto se convierte en $4*6*5*3 = 360$ . Pero la respuesta en el texto es $420$ .

¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

Si ya elegimos $0$ antes, entonces se puede elegir el lugar de los miles en $4$ maneras, no $3$ . Así que su método no cuenta. Damos un método para calcular correctamente. Hay otros.

Hay dos casos posibles.

Caso 1: El lugar de los miles es impar. Hay $3$ opciones. Para cada una de estas elecciones, se puede elegir el lugar de las unidades en $4$ formas, y el resto $2$ en $(5)(4)$ formas.

Caso (2): El lugar de los miles es par. Hay $3$ opciones. Para cada una de estas opciones hay $3$ formas de seleccionar el lugar de las unidades, y $(5)(4)$ formas de seleccionar el resto.

Añade. Obtenemos $(3)(4)(5)(4)+(3)(3)(5)(4)$ .

Answer 2

Para contar números pares de cuatro dígitos compuestos sólo por las cifras $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ , tratamos los números que terminan en cero como un caso especial.

Consideramos los casos:

Caso 1: El dígito de las unidades es cero.

Hay seis opciones para el dígito de los miles (ya que debemos excluir el cero), cinco opciones para el dígito de las centenas (ya que debemos excluir el dígito de los miles y el cero), y cuatro opciones para el dígito de las decenas (ya que debemos excluir el dígito de los miles, el dígito de las centenas y el cero). Por lo tanto, hay $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ números pares de cuatro dígitos compuestos únicamente por las cifras $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ que terminan en cero.

Caso 2: El dígito de las unidades es distinto de cero.

Tenemos tres opciones para el dígito de las unidades ( $2$ , $4$ y $6$ ) ya que el último dígito debe ser par. Tenemos cinco opciones para el dígito de los miles (ya que se excluyen tanto el dígito de las unidades como el cero), cinco opciones para el dígito de las centenas (ya que se excluyen el dígito de los miles y el dígito de las unidades) y cuatro opciones para el dígito de las decenas (ya que se excluyen el dígito de los miles, el dígito de las centenas y el dígito de las unidades). Por lo tanto, hay $3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 = 300$ números pares de cuatro dígitos compuestos únicamente por las cifras $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ que no terminan en cero.

Dado que estos casos son mutuamente excluyentes, el número de números pares de cuatro dígitos compuestos únicamente por las cifras $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ es $6 \cdot 5 \cdot 4 + 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 = 120 + 300 = 420$ .

Has subestimado el número de opciones para el dígito de los miles cuando el dígito de las unidades era cero.

André Nicolas ha aportado una elegante solución alternativa.

Answer 3

Probablemente haya una forma más agradable de escribir esto, pero para mí (nunca he hecho combinatoria) me ayudó ponerlo de esta manera:

Para que el número de 4 dígitos sea par debe terminar en $0, 2, 4, 6$ . Si termina en $0$ entonces hay $(6)(5)(4)$ números posibles, de lo contrario podemos tener de nuevo dos posibilidades: que la decena sea $0$ o distinto de cero. Si es cero entonces tenemos $(5)(4)$ números, de lo contrario, podemos tener otras dos posibilidades para las centenas: cero o no cero, si es cero entonces hay $(4)$ números, de lo contrario $(4)(3)$ .

Así que poniendo todo junto: $6*5*4+3*(5*4+5*(4+4*3))=420$

Answer 4

Si el dígito de la unidad es cero, hay P(6,3)=120 formas. Si el dígito de la unidad es uno de los otros tres, hay P(6,3)=120 formas. PERO P(5,2)=20 de ellas comienzan con un cero. Ergo hay P(6,3)-P(5,2)=100 para las otras. Hay 3 (2,4,6,) de estos, dando 300, añadir esto a 120 para un total de 420

Answer 5

Las respuestas proporcionadas por André Nicolas y N. F. Taussig son correctas. Sin embargo, he encontrado una forma más sencilla de contar los números pares.

Primero cuenta los números de impar.

Hay (3) formas de elegir el lugar de la unidad. Hay (5) formas de elegir el lugar del millar(no se puede utilizar el 0 y ya se elige un dígito en el lugar de la unidad). Hay (5) formas de elegir el lugar de la centena (2 ya están elegidos). Del mismo modo, hay (4) formas de elegir el lugar de la decena.

Por lo tanto, hay (5)(5)(4)(3) números Impares. es decir, 300 números Impares. Total de números pares = 720-300 = 420.